РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 18945818

Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию $левая круглая скобка n больше или равно 3 правая круглая скобка .$

а)  Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?

б)  Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в)  Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.

Решение. а)  Да, может. Числа 2, 3, 4, 5 составляют арифметическую прогрессию, их сумма равна 14.

б)  Пусть a  — первый член, d  — разность, n  — число членов прогрессии, тогда их сумма равна $дробь: числитель: 2a плюс d левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби n.$ Чтобы количество членов было наибольшим, первый член и разность должны быть наименьшими. Пусть они равны 1, тогда по условию $дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби меньше 900.$ Наибольшее натуральное решение этого неравенства n  =  41. Такой результат получается при прогрессии $1 плюс 2 плюс \ldots плюс 41=861.$

в)  Для суммы членов арифметической прогрессии имеем:

$дробь: числитель: 2a плюс d левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби n = 123 равносильно левая круглая скобка 2a плюс d левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка n=2 умножить на 3 умножить на 41.$

Таким образом, число членов прогрессии n является делителем числа 246. Если $n больше или равно 41,$ то левая часть больше 246: $левая круглая скобка 2a плюс d левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка n больше или равно 42 умножить на 41 больше 246,$ следовательно, $n меньше 41.$ Поскольку $n больше или равно 3,$ получаем, что $n=3$ или $n=6.$ Прогрессии из трёх и шести членов с суммой 123 существуют: например, 40, 41, 42 и 3, 10, 17, 24, 31, 38.

Приведем другое решение.

а)   $2 плюс 3 плюс 4 плюс 5=14.$

б)   $левая круглая скобка 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d правая круглая скобка n меньше или равно 1800.43 умножить на 42 = 1806, 42 умножить на 41 = 1722.$ Поскольку $2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d меньше или равно 2 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка = n плюс 1,$ число n не может быть равно $42$ или быть больше. Число $n=41, a=1, d=1$ удовлетворяет условию.

в)   $левая круглая скобка 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d правая круглая скобка n =246, 3 меньше или равно n меньше или равно 15, левая круглая скобка n больше или равно 16 \Rightarrow 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d больше или равно 17 правая круглая скобка$   — не удовлетворяет. $16 умножить на 15=240,$ $246=1 умножить на 246=2 умножить на 123=3 умножить на 82 = 6 умножить на 41.$

$3 меньше или равно n меньше или равно 15,$ поэтому имеем $n=3, 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d=82: 2a_1 плюс 2d=82, a_1 плюс d=41:41 минус d,41, 41 плюс d$   — много есть таких прогрессий. Имеем $n=6,2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d=41: 2a_1 плюс 2d=82, a_1 плюс 5d=41:$ $d=7, a_1=3: 3, 10, 17, 24, 31, 38$   — есть такая прогрессия.

Ответ: а)  да; б)  41; в)  3, 6.

----------

Дублирует задание 501512.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно выполнены все 3 пункта: а), б) и в)	4
Выполнены все три пункта, однако в одном из пунктов ответ недостаточно обоснован или неверен вследствие арифметической ошибки	3
Верно выполнены пункты а) и б), либо верно выполнен пункт в)	2
Верно выполнен один из 2 пунктов: а) или б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1000 кг и 60 штук по 1500 кг (раскалывать глыбы нельзя).

а)  Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

б)  Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

в)  Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

Решение. а)  Масса любых трёх таких глыб не превосходит 5 тонн. Значит, в 60 грузовиков можно погрузить 180 таких глыб. Всего глыб 170, поэтому их можно увезти на 60 грузовиках.

б)  Суммарная масса глыб равна 50 · 800 + 60 · 1000 + 60 · 1500  =  190 000 (кг), то есть в точности совпадает с грузоподъёмностью 38 грузовиков. Значит, если возможно увезти эти глыбы на 38 грузовиках, то каждый грузовик должен быть загружен полностью (по массе груза).

Если в каком-то грузовике есть глыба массой 800 кг, то единственная возможность загрузить такой грузовик полностью  — это добавить ещё 4 таких глыбы и одну глыбу массой 1000 кг. Таким образом, грузовиков, загруженных так, понадобится 10 штук. Поскольку осталось 60 глыб, массой 1500 кг каждая, и 28 грузовиков, то в одном из грузовиков должно быть хотя бы 3 такие глыбы. Но в грузовик, в который загружено 3 глыбы, массой 1500 кг каждая, ничего больше погрузить не получится.

Значит, на 38 грузовиках увезти эти глыбы нельзя.

в)  В предыдущем пункте было показано, что 38 грузовиков не хватит.

Если в 10 грузовиков загрузить по 5 глыб, массой 800 кг каждая, и глыбу массой 1000 кг, в 25 грузовиков загрузить по 2 глыбы, массой 1000 кг каждая, и по 2 глыбы, массой 1500 кг каждая, в 3 грузовика загрузить

3 глыбы, массой 1500 кг каждая, и в один грузовик глыбу массой 1500 кг, то все глыбы окажутся загружены в 39 грузовиков. Значит, наименьшее количество грузовиков  — это 39.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  39.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов: ―  обоснованное решение п. а; ―  обоснованное решение п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а)  Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

б)  Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?

в)  Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.

Решение. а)  Задуманные числа 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 дают требуемый набор, записанный на доске.

б)  Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе  — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе  — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 − 1  =  21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

в)  Число 7  — наименьшее число в наборе  — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе  — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит целой части $дробь: числитель: 41, знаменатель: 7 конец дроби ,$ то есть 5. Кроме того, числа 9 и 11 меньше, чем сумма двух чисел 7, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 41 − 7 − 9 − 11  =  14. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 7, оставшиеся задуманные числа  — это 7 и 7 или 14. Для задуманных чисел 7, 7, 7, 9, 11 и 7, 9, 11, 14 на доске будет записан набор, данный в условии.

Ответ: а) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1; б) нет; в) 7, 7, 7, 9, 11 или 7, 9, 11, 14.

----------

Дублирует задание 501949.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно выполнены: а), б), в_пример), в_оценка)	4
Верно выполнены три пункта из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	3
Верно выполнены два пункта из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	2
Верно выполнены один пункт из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

а)  Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8.

б)  Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?

в)  Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.

Решение. а)  Задуманные числа 2, 2, 2, 2 дают требуемый набор, записанный на доске. Другой вариант: 2, 2, 4.

б)  Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе  — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе  — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 – 1 = 21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

в)  Число 9  — наименьшее число в наборе  — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе  — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит

целой части частного 52 и 9, то есть 5. Кроме того, числа 10 и 11 меньше, чем сумма двух чисел 9, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 52 − 9 − 10 − 11 = 22. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 9, оставшиеся задуманные числа  — это 11 и 11 или 22. Для задуманных чисел 9, 10, 11, 11, 11 и 9, 10, 11, 22 на доске будет записан набор, данный в условии.

Ответ: а) 2, 2, 2, 2 (или 2, 2, 4): б) нет: в) 9, 10, 11, 11, 11 или 9, 10, 11, 22.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно выполнены: а), б), в_пример), в_оценка)	4
Верно выполнены три пункта из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	3
Верно выполнены два пункта из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	2
Верно выполнены один пункт из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

а)  Чему равно число способов записать число 1292 в виде $1292 = a_3 умножить на 10 в кубе плюс a_2 умножить на 10 в квадрате плюс a_1 умножить на 10 плюс a_0,$ где числа $a_i$   — целые, $0 меньше или равно a_i меньше или равно 99, i=0;1;2;3?$

б)  Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде $N = a_3 умножить на 10 в кубе плюс a_2 умножить на 10 в квадрате плюс a_1 умножить на 10 плюс a_0,$ где числа $a_i$   — целые, $0 меньше или равно a_i меньше или равно 99, i=0;1;2;3,$ ровно 130 способами?

в)  Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде $N = a_3 умножить на 10 в кубе плюс a_2 умножить на 10 в квадрате плюс a_1 умножить на 10 плюс a_0,$ где числа $a_i$   — целые, $0 меньше или равно a_i меньше или равно 99, i=0;1;2;3,$ ровно 130 способами?

Решение. Каждое число $0 меньше или равно a_i меньше или равно 99$ однозначно представляется в виде $a_i=10b_i плюс c_i,$ где $0 меньше или равно b_i меньше или равно 9$ и $0 меньше или равно c_i меньше или равно 9 левая круглая скобка i=0; 1; 2; 3 правая круглая скобка .$ Значит, для каждого представления некоторого числа N в виде $N=a_3 умножить на 10 в кубе плюс a_2 умножить на 10 в квадрате плюс a_1 умножить на 10 плюс a_0$ имеет место единственное представление N в виде $N=10n плюс m,$ где $n=b_3 умножить на 10 в кубе плюс b_2 умножить на 10 в квадрате плюс b_1 умножить на 10 плюс b_0$ и $m=c_3 умножить на 10 в кубе плюс c_2 умножить на 10 в квадрате плюс c_1 умножить на 10 плюс c_0$   — произвольные целые числа от 0 до 9999. Число способов записать число N в виде $N=a_3 умножить на 10 в кубе плюс a_2 умножить на 10 в квадрате плюс a_1 умножить на 10 плюс a_0$ равно числу способов записать число N в виде $N = 10n плюс m.$

а)  Для представления числа 1292 в виде $1292 = 10n плюс m$ в качестве n можно взять любое целое число от 0 до 129. При этом $m=1292 минус 10n$ определено однозначно. Таким образом, искомое число способов равно 130.

б)  Повторяя рассуждения предыдущего пункта, несложно показать, что каждое из чисел от 1290 до 1299 представимо в требуемом виде ровно 130 способами.

в)  Рассмотрим представление некоторого числа N в виде $N=10n плюс m,$ где n и m  — некоторые целые числа от 0 до 9999. Представим m в виде $m=10k плюс l,$ где l  — цифра единиц числа m, а k  — некоторое целое число от 0 до 999. Тогда выполнено:

$N=10n плюс 10k плюс l равносильно N минус l=10 левая круглая скобка n плюс k правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: N минус l, знаменатель: 10 конец дроби =n плюс k.$

Найдём все числа K, представимые ровно 130 способами, в виде $K=n плюс k,$ где n  — некоторое целое число от 0 до 9999, а k  — некоторое целое число от 0 до 999.

Пусть для некоторого числа K представления $K=n_1 плюс k_1$ и $K=n_2 плюс k_2$ таковы, что $n_1$   — наименьшее возможное n, а $n_2$   — наибольшее возможное $n.$ Тогда $n_1=0$ или $k_1=K минус n_1=999,$ иначе бы было представление $K= левая круглая скобка n_1 минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка k_1 плюс 1 правая круглая скобка .$ Аналогично $n_2=9999$ или $k_2=K минус n_2=0.$

Заметим, что для любого целого $n_0$ такого, что $n_1 меньше n_0 меньше n_2,$ имеется представление $K=n_0 плюс k_0,$ поскольку $0 меньше или равно n_1 меньше n_0 меньше n_2 меньше или равно 9999, 0 меньше или равно k_2 меньше k_0 меньше k_1 меньше или равно 999.$ Таким образом, количество представлений равно $n_2 минус n_1 плюс 1.$ Если $n_1 = 0; n_2=9999$ или $k_1=999, k_2=0,$ то представлений больше. Значит, или $n_1=0;n_2=129;k_2=0; K=129; N=1290 плюс l,$ или $n_2=9999; n_1=9870; k_1=999; K=10869; N=108690 плюс l,$ где l  — произвольная цифра. Таким образом, искомое количество чисел равно 20.

Ответ: а)  130; б)  да; в)  20.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов: ―  обоснованное решение п. а; ―  обоснованное решение п. б; ―  обоснованная оценка количества задуманных чисел в п. е; ―  оба набора задуманных чисел в п. в.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а)  На доске выписан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были задуманы?

б)  Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в)  Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

Решение. а)  Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 положительных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх положительных чисел. Значит, положительное число одно, и это число  — наибольшее число в наборе, то есть 6. Наименьшее число в наборе −11 является суммой двух отрицательных задуманных чисел. Из отрицательных выписанных чисел только −7 и −4 дают в сумме −11. Значит, были задуманы числа −7, −4 и 6.

б)  Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на доске оказалось ровно k нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно 2k + 1 нулей: k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль. Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечётное количество нулей.

Если на доске выписано ровно 4 нуля, то среди задуманных чисел нет нуля. Пусть задумано четыре или меньше ненулевых числа. Нуль получается тогда, когда сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел. Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы: три различных задуманных числа дают семь сумм, среди которых не более двух (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел) совпадают. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совпадают по модулю не более трёх. Таким образом, если было задумано не более четырёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более трёх нулей.

Если были задуманы числа −2; −1; 1; 2; 3, то на доске окажется ровно четыре нуля. Значит, наименьшее количество задуманных чисел  — 5.

в)  Нет, не всегда. Например, для задуманных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет выписан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: а)  −7, −4, 6; б)  5; в)  нет.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов: ―  обоснованное решение п. а; ―  обоснованное решение п. б; ―  обоснованная оценка количества задуманных чисел в п. в; ―  оба набора задуманных чисел в п. в	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

а)  На доске выписан набор −6, −2, 1, 4, 5, 7, 11. Какие числа были задуманы?

б)  Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 7 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

Решение. а)  Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 отрицательных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх отрицательных чисел. Значит, отрицательное число одно, и это число  — наименьшее число в наборе, то есть −6. Наибольшее число в наборе 11 является суммой двух положительных задуманных чисел. Из положительных выписанных чисел только 4 и 7 дают в сумме 11. Значит, были задуманы числа −6, 4 и 7.

Пусть задумано четыре или меньше ненулевых числа. Нуль получается тогда, когда сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел. Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы; три различных задуманных числа дают семь сумм, среди которых не более двух (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел) совпадают. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совладают по модулю не более трёх. Таким образом, если было задумано не более четырёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более трёх нулей.

Аналогично, если было задумано не более трёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более одного нуля. Значит, если было задумано не более четырёх различных чисел, среди которых есть нуль, то на доске окажется не более трёх нулей.

Если были задуманы числа −2, −1, 0, 1, 2, то на доске окажется ровно семь нулей. Значит, наименьшее количество задуманных чисел  — 5.

Ответ: а) −6, 4, 7; б) 5; в) нет.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов:   — обоснованное решение п. а;   — обоснованная оценка количества задуманных чисел в п. б;   — пример задуманных чисел в п. б;   — оба набора задуманных чисел в п. в	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).

а)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 12?

б)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 87?

в)  Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов:   — обоснованное решение п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснованная оценка количества задуманных чисел в п. е;   — оба набора задуманных чисел в п. в	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).

а)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 20?

б)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 81?

в)  Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов:   — обоснованное решение п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснованная оценка количества задуманных чисел в п. е;   — оба набора задуманных чисел в п. в	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

10.  

Каждое из чисел a₁, a₂, …, a₃₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

$S_1 = a_1 плюс a_2 плюс a_3 плюс \ldots плюс a_350,$

$S_2 = a_1 в квадрате плюс a_2 в квадрате плюс a_3 в квадрате плюс \ldots плюс a в квадрате _350,$

$S_3 = a_1 в кубе плюс a_2 в кубе плюс a_3 в кубе плюс \ldots плюс a в кубе _350,$

$S_4 = a_1 в степени 4 плюс a_2 в степени 4 плюс a_3 в степени 4 плюс \ldots плюс a в степени 4 _350.$

Известно, что S₁  =  513.

а)  Найдите S₄, если еще известно, что S₂  =  1097 и S₃  =  3243.

б)  Может ли S₄  =  4547?

в)  Пусть S₄  =  4745. Найдите все значения, которые может принимать S₂.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно выполнены: а), б), в_пример), в_оценка)	4
Верно выполнены три пункта из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	3
Верно выполнены два пункта из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	2
Верно выполнены один пункт из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

11.  

Каждое из чисел a₁, a₂, …, a₄₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

S₁  =  a₁+a₂+...+a₄₅₀,

S₂  =  a₁²+a₂²+...+a₄₅₀²,

S₃  =  a₁³+a₂³+...+a₄₅₀³,

S₄  =  a₁⁴+a₂⁴+...+a₄₅₀⁴.

Известно, что S₁  =  739.

а)  Найдите S₄, если еще известно, что S₂  =  1779, S₃  =  5611.

б)  Может ли S₄  =  6547 ?

в)  Пусть S₄  =  6435. Найдите все значения, которые может принимать S₂.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно выполнены: а), б), в_пример), в_оценка)	4
Верно выполнены три пункта из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	3
Верно выполнены два пункта из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	2
Верно выполнены один пункт из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

12.  

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?

б)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?

в)  Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов: ―  обоснованное решение п. а; ―  обоснованное решение п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

13.  

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?

б)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?

в)  Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно выполнены: а), б), в_пример), в_оценка)	4
Верно выполнены три пункта из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	3
Верно выполнены два пункта из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	2
Верно выполнены один пункт из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

14.  

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию $левая круглая скобка n\geqslant3 правая круглая скобка .$

а)  Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?

б)  Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?

в)  Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов: ―  обоснованное решение п. а; ―  обоснованное решение п. б; ―  верно найдены оба значения n в п. в; ―  доказано существование ровно двух значений n в п. в	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

15.  

а)  Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?

б)  Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в)  Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	510705	а) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1; б) нет; в) 7, 7, 7, 9, 11 или 7, 9, 11, 14.

Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013

Ключ

Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013