Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Пусть данное число равно 
где 
и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно k, то выполнено 
а) Если 
то 
что верно, например, при 
Частное числа 410 и суммы его цифр равно 
б) Если 
то 
Если 
то 
Значит, 
и 
или 
Но ни 
ни 
не делится на 
Значит, частное трехзначного числа и суммы его цифр не может быть равным 
в) Пусть k — наибольшее натуральное значение частного числа, не кратного 
и суммы его цифр. Тогда 
Учитывая, что 
получаем:
Таким образом, 
Частное числа 
и суммы его цифр равно 
Значит, наибольшее натуральное значение частного трёхзначного числа, не кратного 
и суммы его цифр равно
Приведем другую оценку п. в).
Запишем оцениваемое отношение и преобразуем его:
Ответ: а) да; б) нет; в) 91.