Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор −6, −2, 1, 4, 5, 7, 11. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 7 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
а) Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 отрицательных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх отрицательных чисел. Значит, отрицательное число одно, и это число — наименьшее число в наборе, то есть −6. Наибольшее число в наборе 11 является суммой двух положительных задуманных чисел. Из положительных выписанных чисел только 4 и 7 дают в сумме 11. Значит, были задуманы числа −6, 4 и 7.
б) Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на доске оказалось ровно k нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно 2k + 1 нулей: k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль. Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечётное количество нулей.
Пусть задумано четыре или меньше ненулевых числа. Нуль получается тогда, когда сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел. Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы; три различных задуманных числа дают семь сумм, среди которых не более двух (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел) совпадают. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совладают по модулю не более трёх. Таким образом, если было задумано не более четырёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более трёх нулей.
Аналогично, если было задумано не более трёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более одного нуля. Значит, если было задумано не более четырёх различных чисел, среди которых есть нуль, то на доске окажется не более трёх нулей.
Если были задуманы числа −2, −1, 0, 1, 2, то на доске окажется ровно семь нулей. Значит, наименьшее количество задуманных чисел — 5.
в) Нет, не всегда. Например, для задуманных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет выписан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.
Ответ: а) −6, 4, 7; б) 5; в) нет.