Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 19 № 510785
i

Даны n раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, со­став­ля­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию левая круг­лая скоб­ка n\geqslant3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  Может ли сумма всех дан­ных чисел быть рав­ной 10?

б)  Ка­ко­во наи­боль­шее зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел мень­ше 1000?

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния n, если сумма всех дан­ных чисел равна 129.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Без огра­ни­че­ния общ­но­сти можно счи­тать, что числа со­став­ля­ют воз­рас­та­ю­щую ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. Пусть a  — пер­вый член этой про­грес­сии, d её раз­ность. Тогда сумма её чле­нов S_n= дробь: чис­ли­тель: 2a плюс левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка d, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби n.

а)  Да, может. Числа 1, 2, 3, 4 со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, и их сумма равна 10.

б)  Для суммы чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии верно не­ра­вен­ство

дробь: чис­ли­тель: 2a плюс левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка d, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на n боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2 плюс левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на n = дробь: чис­ли­тель: n левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Зна­чит, дробь: чис­ли­тель: n левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 1000, от­ку­да на­хо­дим n мень­ше или равно 44. Сумма ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии 1, 2, …, 44 равна 990 < 1000. Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние n равно 44.

в)  Для суммы чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии имеем:

дробь: чис­ли­тель: 2a плюс d левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на n = 129;~ левая круг­лая скоб­ка 2a плюс d левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка n=258=2 умно­жить на 3 умно­жить на 43.

Таким об­ра­зом, число n яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа 258. Если n боль­ше или равно 43, то левая круг­лая скоб­ка 2a плюс d левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка n боль­ше или равно 44 умно­жить на 43 боль­ше 258, сле­до­ва­тель­но, n мень­ше 43. По­сколь­ку n боль­ше или равно 3, по­лу­ча­ем, что n=3 или n=6. Про­грес­сии из 3 и 6 чле­нов с сум­мой 129 су­ще­ству­ют: на­при­мер, 42, 43, 44 и 19, 20, 21, 22, 23, 24.

 

Ответ: а)  да; б)  44; в)  3, 6.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­ты 4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов 3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щих ре­зуль­та­тов:

―  обос­но­ван­ное ре­ше­ние п. а;

―  обос­но­ван­ное ре­ше­ние п. б;

―  верно най­де­ны оба зна­че­ния n в п. в;

―  до­ка­за­но су­ще­ство­ва­ние ровно двух зна­че­ний n в п. в

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4
Источники:
Классификатор алгебры: По­сле­до­ва­тель­но­сти и про­грес­сии
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025