Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию 
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.
а) Да, может. Числа 2, 3, 4, 5 составляют арифметическую прогрессию, их сумма равна 14.
б) Пусть a — первый член, d — разность, n — число членов прогрессии, тогда их сумма равна 
Чтобы количество членов было наибольшим, первый член и разность должны быть наименьшими. Пусть они равны 1, тогда по условию 
Наибольшее натуральное решение этого неравенства n = 41. Такой результат получается при прогрессии 
в) Для суммы членов арифметической прогрессии имеем:
Таким образом, число членов прогрессии n является делителем числа 246. Если 
то левая часть больше 246: 
следовательно, 
Поскольку 
получаем, что 
или 
Прогрессии из трёх и шести членов с суммой 123 существуют: например, 40, 41, 42 и 3, 10, 17, 24, 31, 38.
Приведем другое решение.
а) 
б) 
Поскольку 
число n не может быть равно 
или быть больше. Число 
удовлетворяет условию.
в) 
— не удовлетворяет. 
поэтому имеем 
— много есть таких прогрессий. Имеем 
— есть такая прогрессия.
Ответ: а) да; б) 41; в) 3, 6.