ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 510760 Добавить в вариант

Каждое из чисел a₁, a₂, …, a₃₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

$S_1 = a_1 плюс a_2 плюс a_3 плюс \ldots плюс a_350,$

$S_2 = a_1 в квадрате плюс a_2 в квадрате плюс a_3 в квадрате плюс \ldots плюс a в квадрате _350,$

$S_3 = a_1 в кубе плюс a_2 в кубе плюс a_3 в кубе плюс \ldots плюс a в кубе _350,$

$S_4 = a_1 в степени 4 плюс a_2 в степени 4 плюс a_3 в степени 4 плюс \ldots плюс a в степени 4 _350.$

Известно, что S₁  =  513.

а)  Найдите S₄, если еще известно, что S₂  =  1097 и S₃  =  3243.

б)  Может ли S₄  =  4547?

в)  Пусть S₄  =  4745. Найдите все значения, которые может принимать S₂.

Спрятать решение

Решение.

Пусть количества единиц, двоек, троек и четвёрок среди a₁, a₂, ..., a₃₅₀ равны m₁, m₂, m₃, m₄ соответственно. Тогда

$m_1 плюс m_2 плюс m_3 плюс m_4 = 350$ и $m_1 плюс 2m_2 плюс 3m_3 плюс 4m_4 = 513.$

а)  По условию

$S_1 = m_1 плюс 2m_2 плюс 3m_3 плюс 4m_4 = 513,$

$S_2 = m_1 плюс 4m_2 плюс 9m_3 плюс 16m_4 = 1097,$

$S_3 = m_1 плюс 8m_2 плюс 27m_3 плюс 64m_4 = 3243.$

Зная, что $m_1 плюс m_2 плюс m_3 плюс m_4 = 350,$ и решая систему линейных, находим: m₁  =  282, m₂  =  7, m₃  =  27, m₄  =  34. Значит,

$S_4=282 плюс 16 умножить на 7 плюс 81 умножить на 27 плюс 256 умножить на 34 = 11 285.$

б)  Если $S_4 = m_1 плюс 16m_2 плюс 81m_3 плюс 256m_4 = 4547,$ где $m_1 плюс m_2 плюс m_3 плюс m_4=350,$ то $15m_2 плюс 80m_3 плюс 255m_4 =4197.$ В последнем равенстве левая часть кратна 5, а правая  — нет, поэтому S₄ не может быть равным 4547.

в)  Если $S_4 = m_1 плюс 16m_2 плюс 81m_3 плюс 256m_4 = 4745,$ где $m_1 плюс m_2 плюс m_3 плюс m_4=350,$ то $15m_2 плюс 80m_3 плюс 255m_4 =4395.$ Кроме того, поскольку $m_1 плюс 2m_2 плюс 3m_3 плюс 4m_4 = 513.$ получаем:

$m_2 плюс 2m_3 плюс 3m_4=163 равносильно 15m_2 плюс 30m_3 плюс 45m_4=2445.$

Вычтем из первого полученного равенства второе:

$50m_3 плюс 210m_4=1950 равносильно 5m_3 плюс 21m_4=195.$

Значит, m₄ делится на 5 и может равняться только 0 или 5. При m₄  =  0 получаем:

$m_3= дробь: числитель: 195 минус 21m_4, знаменатель: 5 конец дроби =39,$

$m_2=163 минус 2m_3 минус 3m_4=85,$

$m_1=350 минус m_2 минус m_3 минус m_4=226,$

откуда

$S_2=m_1 плюс 4m_2 плюс 9m_3 плюс 16m_4=917.$

При m₄  =  5 получаем:

$m_3= дробь: числитель: 195 минус 21m_4, знаменатель: 5 конец дроби =18,$

$m_2=163 минус 2m_3 минус 3m_4=112,$

$m_1=350 минус m_2 минус m_3 минус m_4=215,$

откуда

$S_2=m_1 плюс 4m_2 плюс 9m_3 плюс 16m_4=905.$

Ответ: а)  11 285; б)  нет; в)  905 или 917.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно выполнены: а), б), в_пример), в_оценка)	4
Верно выполнены три пункта из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	3
Верно выполнены два пункта из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	2
Верно выполнены один пункт из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источники:

ЕГЭ по математике 19.06.2013. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 501;

Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013.

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь