ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 510767 Добавить в вариант

Каждое из чисел a₁, a₂, …, a₄₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

S₁  =  a₁+a₂+...+a₄₅₀,

S₂  =  a₁²+a₂²+...+a₄₅₀²,

S₃  =  a₁³+a₂³+...+a₄₅₀³,

S₄  =  a₁⁴+a₂⁴+...+a₄₅₀⁴.

Известно, что S₁  =  739.

а)  Найдите S₄, если еще известно, что S₂  =  1779, S₃  =  5611.

б)  Может ли S₄  =  6547 ?

в)  Пусть S₄  =  6435. Найдите все значения, которые может принимать S₂.

Спрятать решение

Решение.

Пусть количества единиц, двоек, троек и четверок среди $a_1, a_2, a_3...a_450$ равны $m_1, m_2, m_3, m_4$ соответственно. Тогда $m_1 плюс m_2 плюс m_3 плюс m_4=450$ и $m_1 плюс 2m_2 плюс 3m_3 плюс 4m_4=739.$

а)  По условию

$S_1=m_1 плюс 2m_2 плюс 3m_3 плюс 4m_4=739,$ $S_2=m_1 плюс 4m_2 плюс 9m_3 плюс 16m_4=1779,$

$S_3=m_1 плюс 8m_2 плюс 27m_3 плюс 64m_4=5611,$ где $m_1 плюс m_2 плюс m_3 плюс m_4=450.$

Решая систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными, находим:

$m_1=331, m_2=10, m_3=48, m_4=61.$ Значит, $S_4=331 плюс 16 умножить на 10 плюс 81 умножить на 48 плюс 256 умножить на 61=19995.$

б)  Если $S_4=m_1 плюс 16m_2 плюс 81m_3 плюс 256m_4=6547,$ где $m_1 плюс m_2 плюс m_3 плюс m_4=450,$ то

$15m_2 плюс 80m_3 плюс 255m_4=6097.$

В последнем равенстве левая часть кратна 5, а правая - нет, поэтому $S_4$ не может быть равным 6547.

в)  Если $S_4=m_1 плюс 16m_2 плюс 81m_3 плюс 256m_4=6435,$ где $m_1 плюс m_2 плюс m_3 плюс m_4=450,$ то

$15m_2 плюс 80m_3 плюс 255m_4=5985.$

Кроме того, поскольку $m_1 плюс 2m_2 плюс 3m_3 плюс 4m_4=739,$ получаем:

$m_2 плюс 2m_3 плюс 3m_4=289;$ $15m_2 плюс 30m_3 плюс 45m_4=4335.$

Вычтем из первого полученного равенства второе : $50m_3 плюс 210m_4=1650;$ $5m_3 плюс 21m_4=165.$ Значит, $m_4$ делится на 5 и может равняться только 0 или 5.

При $m_4=0$ получаем:

$m_3= дробь: числитель: 165 минус 21m_4, знаменатель: 5 конец дроби =33,\enskip m_2=289 минус 2m_3 минус 3m_4=223,$

$m_1=450 минус m_2 минус m_3 минус m_4=194, \enskip S_2=m_1 плюс 4m_2 плюс 9m_3 плюс 16m_4=1383.$ $m_1=450 минус m_2 минус m_3 минус m_4=194, \enskip S_2=$
$=m_1 плюс 4m_2 плюс 9m_3 плюс 16m_4=1383.$

При $m_4=5$ получаем:

$m_3= дробь: числитель: 165 минус 21m_4, знаменатель: 5 конец дроби =12, \enskip m_2=289 минус 2m_3 минус 3m_4=250,$

$m_1=450 минус m_2 минус m_3 минус m_4=183, \enskip S_2=m_1 плюс 4m_2 плюс 9m_3 плюс 16m_4=1371.$ $m_1=450 минус m_2 минус m_3 минус m_4=183, \enskip S_2=$
$=m_1 плюс 4m_2 плюс 9m_3 плюс 16m_4=1371.$

Ответ: a) 19995; б) нет; в) 1371 или 1383.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно выполнены: а), б), в_пример), в_оценка)	4
Верно выполнены три пункта из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	3
Верно выполнены два пункта из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	2
Верно выполнены один пункт из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источники:

ЕГЭ по математике 19.06.2013. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 502;

Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013.

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь