Использование симметрий
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 
либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
Пусть 
тогда
Рассмотрим два случая.
Случай 1: уравнение (⁎) имеет единственное решение. Это уравнение не изменяется при замене х на −x, а потому если число 
является решением этого уравнения, то и число 
также является его решением. Чтобы уравнение имело единственное решение, оно должно иметь корень 
и не должно иметь других корней. Полагая 
находим:
Осталось проверить, имеет ли уравнение другие корни, при найденных значениях b. При 
уравнение принимает вид 
и имеет три различных решения: 
поэтому не подходит. Если 
то
Раскроем модули: на отрезке [0; 2] уравнение принимает вид 
и имеет единственное решение 
При 
получаем: 
Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим заключаем, что
Таким образом, при 
уравнение не имеет положительных корней, а потому, в силу четности левой и правой частей уравнения, не имеет и отрицательных корней, то есть имеет единственный корень
Случай 2: уравнение (⁎) не имеет решений. Поскольку значения 
и уже разобраны, осталось рассмотреть значения 
и 
Обозначим 
Рассмотрим случай 
Если 
то
то есть уравнение решений не имеет. Если 
то
в этом случае тоже нет решений.
Рассмотрим случай 
В этом случае верны неравенства
и
поскольку 
и 
Значит, уравнение 
имеет решения отличные от нуля, то есть решений больше одного.
Таким образом, уравнение (⁎) имеет единственное решение или не имеет решений при 
и 
то есть при 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а | 2 |
| Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Запишем уравнение в виде
Если является корнем исходного уравнения, то и является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет нечётное число корней, только если 
то есть 
Подставим значение в уравнение:
откуда либо 
либо 
или 
При 
уравнение принимает вид 
Корнями этого уравнения являются числа 
и 
то есть уравнение имеет ровно три корня.
При 
и при 
уравнение принимает вид 
При 
это уравнение сводится к уравнению 
которое не имеет корней.
При 
получаем уравнение 
которое имеет единственный корень.
При 
получаем уравнение 
которое не имеет корней.
Таким образом, при и при исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 
и 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Обоснованно получены оба значения а, в ответ включено не более одного постороннего значения а. | 3 |
| Обоснованно получено одно из значений а. | 2 |
| Получен один из следующих результатов: – задача верно сведена к исследованию квадратных уравнений, полученных после раскрытия модулей; – есть утверждение о симметрии корней исходного уравнения. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
и Найдите все положительные значения a, при каждом из которых множество решений неравенства
состоит из одной точки, найдите это решение.
Очевидно, если x подходит в это неравенство, то и 
тоже подходит. Поэтому решение может быть единственным только в том случае, если это решение Кроме того, при неравенство должно обратиться в равенство, иначе при достаточно близких к нулю x неравенство продолжит выполняться (по непрерывности правой части на всей области определения). Итак,
Нуль не является положительным числом, значит, 
не соответствует условию.
При 
имеем:
Решим это неравенство. Поскольку знаменатель положителен, умножим на него:
Итак, подходит.
Ответ:
При этом
Приведём другое решение (Дмитрий Irmos).
Пусть 
Знаменатель положителен при a > 0, поэтому можно на него домножить обе части неравенства, не меняя его знака. Имеем:
Рассмотрим случай 
Число 0 является решением неравенства (*) при 
Причем при 
неравенство не имеет других решений, отличных от нуля. Действительно, для 
имеем:
Пусть теперь 
Тогда неравенство (*) можно записать в виде:
Подкоренное выражение больше 17, корень больше 4, а значит, выражение в скобках положительно. Следовательно, левая часть неравенства (**) является суммой неотрицательного и положительного выражений. Поэтому оно не имеет решений.
Таким образом, число 0 является единственным решением неравенства для тех и только тех положительных значений параметра a, которые являются корнями уравнения 
Отсюда a = 4.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но – или в ответ включены также и одно-два неверных значения; – или решение недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра | 2 |
| Задача сведена к исследованию: – или взаимного расположения трёх окружностей; – или двух квадратных уравнений с параметром | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
При этом Найдите все неотрицательные значения a, при каждом из которых множество решений неравенства
состоит из одной точки, и найдите это решение.
Очевидно, если x подходит в это неравенство, то и тоже подходит. Поэтому решение может быть единственным только в том случае, если это решение Кроме того, при неравенство должно обратиться в равенство, иначе при достаточно близких к нулю x неравенство продолжит выполняться (по непрерывности правой части на всей области определения). Итак,
Рассмотрим эти случаи. При 
имеем 
Решим это неравенство. Поскольку знаменатель положителен, умножим на него.
Итак, подходит.
При имеем 
Решим это неравенство. Поскольку знаменатель положителен, умножим на него.
Итак, тоже подходит.
Ответ: 
При этом
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но – или в ответ включены также и одно-два неверных значения; – или решение недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра | 2 |
| Задача сведена к исследованию: – или взаимного расположения трёх окружностей; – или двух квадратных уравнений с параметром | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
При этом При каких значениях параметра а система 
имеет четыре решения?
Полагая 
перепишем исходную систему в виде
Заметим, что если хотя бы одна из переменных 
отрицательна, то исходная система не имеет решений. Значению 
соответствует а значению 
соответствует 
а каждой паре положительных значений 
соответствует по два значения исходных переменных 
соответственно, то есть каждому такому решению соответствуют четыре решения исходной системы.
Заметим далее, что если пара 
является решением системы, то и пара 
— также решение этой системы, то есть исходная система получает восемь решений если 
Таким образом, исходная система имеет четыре решения 
тогда и только тогда, когда полученная система имеет следующие решения: 
или 
где 
и 
Рассмотрим три случая.
1. Если 
то из первого уравнения 
из второго уравнения 
При найденном значении параметра система принимает вид
Осталось убедиться, что данная система не имеет других решений, кроме 
Из первого уравнения 
подставим во второе:
Последнее уравнение имеет единственный корень 
Это доказывает, что других решений система не имеет.
2. Если 
а 
то 
При этом значении параметра система принимает вид
Проверим, имеет ли данная система решения, отличные от 
Из первого уравнения снова подставим во второе:
Последнее уравнение имеет два корня 
и 
Первый из них соответствует рассматриваемому случаю и двум решениям исходной системы, а второй оставшемуся случаю и еще двум.
3. Если 
а 
то Как было показано выше, данное значение параметра является искомым.
Ответ: 
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх