ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 513268 Добавить в вариант

Найдите все положительные значения a, при каждом из которых множество решений неравенства

$1 меньше или равно дробь: числитель: a плюс x в квадрате плюс 2 логарифм по основанию 5 левая круглая скобка a в квадрате минус 4a плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: 30 корень из: начало аргумента: 17x в степени 4 плюс 5x в квадрате конец аргумента плюс a плюс 1 плюс логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка a в квадрате минус 4a плюс 5 правая круглая скобка конец дроби$

состоит из одной точки, найдите это решение.

Решение.

Очевидно, если x подходит в это неравенство, то и $минус x$ тоже подходит. Поэтому решение может быть единственным только в том случае, если это решение $x=0.$ Кроме того, при $x=0$ неравенство должно обратиться в равенство, иначе при достаточно близких к нулю x неравенство продолжит выполняться (по непрерывности правой части на всей области определения). Итак,

$1= дробь: числитель: a плюс 2 логарифм по основанию 5 левая круглая скобка a в квадрате минус 4a плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: a плюс 1 плюс \log в квадрате _5 левая круглая скобка a в квадрате минус 4a плюс 5 правая круглая скобка конец дроби равносильно 2 логарифм по основанию 5 левая круглая скобка a в квадрате минус 4a плюс 5 правая круглая скобка =1 плюс \log в квадрате _5 левая круглая скобка a в квадрате минус 4a плюс 5 правая круглая скобка равносильно$ $1= дробь: числитель: a плюс 2 логарифм по основанию 5 левая круглая скобка a в квадрате минус 4a плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: a плюс 1 плюс \log в квадрате _5 левая круглая скобка a в квадрате минус 4a плюс 5 правая круглая скобка конец дроби равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию 5 левая круглая скобка a в квадрате минус 4a плюс 5 правая круглая скобка =1 плюс \log в квадрате _5 левая круглая скобка a в квадрате минус 4a плюс 5 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка a в квадрате минус 4a плюс 5 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно логарифм по основанию 5 левая круглая скобка a в квадрате минус 4a плюс 5 правая круглая скобка =1 равносильно a в квадрате минус 4a плюс 5=5 равносильно совокупность выражений a=0,a=4. конец совокупности .$ $равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка a в квадрате минус 4a плюс 5 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 левая круглая скобка a в квадрате минус 4a плюс 5 правая круглая скобка =1 равносильно a в квадрате минус 4a плюс 5=5 равносильно совокупность выражений a=0,a=4. конец совокупности .$ $равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка a в квадрате минус 4a плюс 5 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 левая круглая скобка a в квадрате минус 4a плюс 5 правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно a в квадрате минус 4a плюс 5=5 равносильно совокупность выражений a=0,a=4. конец совокупности .$

Нуль не является положительным числом, значит, $a=0$ не соответствует условию.

При $a=4$ имеем:

$1 меньше или равно дробь: числитель: x в квадрате плюс 6, знаменатель: 30 корень из: начало аргумента: 17x в степени 4 плюс 5x в квадрате конец аргумента плюс 6 конец дроби .$

Решим это неравенство. Поскольку знаменатель положителен, умножим на него:

$30 корень из: начало аргумента: 17x в степени 4 плюс 5x в квадрате конец аргумента плюс 6 меньше или равно x в квадрате плюс 6 равносильно 900 левая круглая скобка 17x в степени 4 плюс 5x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно x в степени 4 равносильно 15299x в степени 4 плюс 4500x в квадрате меньше или равно 0 равносильно x=0.$ $30 корень из: начало аргумента: 17x в степени 4 плюс 5x в квадрате конец аргумента плюс 6 меньше или равно x в квадрате плюс 6 равносильно 900 левая круглая скобка 17x в степени 4 плюс 5x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно x в степени 4 равносильно$
$равносильно 15299x в степени 4 плюс 4500x в квадрате меньше или равно 0 равносильно x=0.$ $30 корень из: начало аргумента: 17x в степени 4 плюс 5x в квадрате конец аргумента плюс 6 меньше или равно x в квадрате плюс 6 равносильно$
$равносильно 900 левая круглая скобка 17x в степени 4 плюс 5x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно x в степени 4 равносильно$
$равносильно 15299x в степени 4 плюс 4500x в квадрате меньше или равно 0 равносильно x=0.$

Итак, $a=4$ подходит.

Ответ: $a=4.$ При этом $x=0.$

Приведём другое решение (Дмитрий Irmos).

Пусть $b= логарифм по основанию 5 левая круглая скобка a в квадрате минус 4a плюс 5 правая круглая скобка .$ Знаменатель положителен при a > 0, поэтому можно на него домножить обе части неравенства, не меняя его знака. Имеем:

$левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 30 корень из: начало аргумента: 17x в степени 4 плюс 5x в квадрате конец аргумента минус x в квадрате меньше или равно 0. левая круглая скобка * правая круглая скобка$

Рассмотрим случай $x = 0.$ Число 0 является решением неравенства (*) при $b=1.$ Причем при $b=1$ неравенство не имеет других решений, отличных от нуля. Действительно, для $x не равно 0$ имеем:

$30 корень из: начало аргумента: 17x в степени 4 плюс 5x в квадрате конец аргумента минус x в квадрате больше 30 корень из: начало аргумента: 16x в степени 4 конец аргумента } минус x в квадрате = 30 умножить на 4x в квадрате минус x в квадрате = 119x в квадрате больше 0.$

Пусть теперь $x не равно 0.$ Тогда неравенство (*) можно записать в виде:

$левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс x в квадрате левая круглая скобка 30 корень из: начало аргумента: 17 плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: x в квадрате конец дроби конец аргумента минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0. левая круглая скобка ** правая круглая скобка$

Подкоренное выражение больше 17, корень больше 4, а значит, выражение в скобках положительно. Следовательно, левая часть неравенства (**) является суммой неотрицательного и положительного выражений. Поэтому оно не имеет решений.

Таким образом, число 0 является единственным решением неравенства для тех и только тех положительных значений параметра a, которые являются корнями уравнения $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка a в квадрате минус 4a плюс 5 правая круглая скобка =1.$ Отсюда a  =  4.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но –  или в ответ включены также и одно-два неверных значения; –  или решение недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра	2
Задача сведена к исследованию: –  или взаимного расположения трёх окружностей; –  или двух квадратных уравнений с параметром	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Аналоги к заданию № 513268: 513282 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

Решение · Критерии · 3 комментария · Видеокурс · Помощь

Тип 18 № 513282 Добавить в вариант

Найдите все неотрицательные значения a, при каждом из которых множество решений неравенства

$1 меньше или равно дробь: числитель: 2a плюс x в квадрате минус 4 логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 4a в квадрате минус 4a плюс 9 правая круглая скобка , знаменатель: 5 корень из: начало аргумента: 18x в степени 4 плюс 7x в квадрате конец аргумента плюс 2a плюс 4 плюс \log в квадрате _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 4a в квадрате минус 4a плюс 9 правая круглая скобка конец дроби$

состоит из одной точки, и найдите это решение.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но –  или в ответ включены также и одно-два неверных значения; –  или решение недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра	2
Задача сведена к исследованию: –  или взаимного расположения трёх окружностей; –  или двух квадратных уравнений с параметром	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Аналоги к заданию № 513268: 513282 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

Решение · Критерии · Видеокурс · Помощь