Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 
либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
Пусть 
тогда
Рассмотрим два случая.
Случай 1: уравнение (⁎) имеет единственное решение. Это уравнение не изменяется при замене х на −x, а потому если число 
является решением этого уравнения, то и число 
также является его решением. Чтобы уравнение имело единственное решение, оно должно иметь корень 
и не должно иметь других корней. Полагая 
находим:
Осталось проверить, имеет ли уравнение другие корни, при найденных значениях b. При 
уравнение принимает вид 
и имеет три различных решения: 
поэтому не подходит. Если 
то
Раскроем модули: на отрезке [0; 2] уравнение принимает вид 
и имеет единственное решение 
При 
получаем: 
Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим заключаем, что
Таким образом, при 
уравнение не имеет положительных корней, а потому, в силу четности левой и правой частей уравнения, не имеет и отрицательных корней, то есть имеет единственный корень
Случай 2: уравнение (⁎) не имеет решений. Поскольку значения 
и уже разобраны, осталось рассмотреть значения 
и 
Обозначим 
Рассмотрим случай 
Если 
то
то есть уравнение решений не имеет. Если 
то
в этом случае тоже нет решений.
Рассмотрим случай 
В этом случае верны неравенства
и
поскольку 
и 
Значит, уравнение 
имеет решения отличные от нуля, то есть решений больше одного.
Таким образом, уравнение (⁎) имеет единственное решение или не имеет решений при 
и 
то есть при 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а | 2 |
| Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения 
при каждом из которых уравнение 
либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
Введём обозначения: 
В этих обозначениях исходное уравнение принимает вид 
Заметим, что 
при 
при 
Пусть 
покажем, что в этом случае уравнение либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
Действительно, если 
то 
Если то 
причём равенство достигается только при 
и
При 
верны неравенства 
и поскольку 
и Значит, уравнение имеет решение.
Если некоторое число является решением этого уравнения, то и число также является его решением, поскольку функции 
и 
— чётные. Значит, если уравнение 
имеет единственное решение, то это решение
Решим уравнение 
относительно 
значит, 
является решением уравнения при 
или 
Случай, когда 
уже был разобран.
При уравнение принимает вид и имеет три различных решения:
Таким образом, уравнение 
имеет единственное решение или не имеет решений при и то есть при 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а | 2 |
| Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх