ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 507476 Добавить в вариант

Найти все значения a, при каждом из которых уравнение

$x в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс 7 правая круглая скобка в квадрате =|x минус 7 минус a| плюс |x плюс a плюс 7|$

имеет единственный корень.

Спрятать решение

Решение.

Если x₀ является корнем исходного уравнения, то и $минус x_0$ является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень, только если $x_0 = минус x_0,$ то есть x₀  =  0. Подставим значение x  =  0 в исходное уравнение:

откуда либо $|a плюс 7| = 0 равносильно a = минус 7,$ либо $|a плюс 7| = 2 равносильно a = минус 9,$ или $a = минус 5.$

При $a = минус 7$ исходное уравнение принимает вид: x²  =  2|x|. Корнями этого уравнения являются числа −2; 0 и 2, то есть исходное уравнение имеет более одного корня.

При $a = минус 9$ и при $a = минус 5$ уравнение принимает вид: x² + 4  =  |x − 2| + |x + 2|.

При x < − 2 это уравнение сводится к уравнению x² + 2x + 4 = 0, которое не имеет корней.

При −2 ≤ x ≤ 2 получаем уравнение x²  =  0, которое имеет единственный корень.

При x > 2 получаем уравнение x² − 2x + 4  =  0, которое не имеет корней. При $a = минус 9$ и при $a = минус 5$ исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: −9; −5.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а	2
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 501713: 502297 510665 501755 ... Все

Классификатор алгебры: Уравнение с модулем, Уравнения с параметром

Методы алгебры: Использование косвенных методов, Использование симметрий, оценок, монотонности, Перебор случаев

Методы геометрии: Симметрия в решениях, Симметрия в решениях

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь