Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Если x0 является корнем исходного уравнения, то и 
является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень, только если 
то есть x0 = 0. Подставим значение x = 0 в исходное уравнение:
откуда либо 
либо 
или a = 5.
При a = 3 исходное уравнение принимает вид: x2 = 2|x|. Корнями этого уравнения являются числа −2; 0 и 2, то есть исходное уравнение имеет более одного корня.
При a = 1 и при a = 5 уравнение принимает вид: 
При x < −2 это уравнение сводится к уравнению x2 + 2x + 4 = 0, которое не имеет корней.
При −2 ≤ x ≤ 2 получаем уравнение x2 = 0, которое имеет единственный корень.
При x > 2 получаем уравнение 
которое не имеет корней. При a = 1 и при a = 5 исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 1; 5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Обоснованно получены оба значения а, в ответ включено не более одного постороннего значения а. | 3 |
| Обоснованно получено одно из значений а. | 2 |
| Получен один из следующих результатов: – задача верно сведена к исследованию квадратных уравнений, полученных после раскрытия модулей; – есть утверждение о симметрии корней исходного уравнения. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Запишем уравнение в виде
Если 
является корнем исходного уравнения, то и является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет нечётное число корней, только если 
то есть 
Подставим значение 
в уравнение:
откуда либо 
либо 
или 
При 
уравнение принимает вид 
Корнями этого уравнения являются числа 
и 
то есть уравнение имеет ровно три корня.
При 
и при 
уравнение принимает вид 
При 
это уравнение сводится к уравнению 
которое не имеет корней.
При 
получаем уравнение 
которое имеет единственный корень.
При 
получаем уравнение 
которое не имеет корней.
Таким образом, при и при исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 
и 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Обоснованно получены оба значения а, в ответ включено не более одного постороннего значения а. | 3 |
| Обоснованно получено одно из значений а. | 2 |
| Получен один из следующих результатов: – задача верно сведена к исследованию квадратных уравнений, полученных после раскрытия модулей; – есть утверждение о симметрии корней исходного уравнения. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
и Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Запишем уравнение в виде
Если является корнем исходного уравнения, то и является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет нечётное число корней, только если 
то есть 
Подставим значение в уравнение:
откуда либо 
либо 
или 
При 
уравнение принимает вид Корнями этого уравнения являются числа и то есть уравнение имеет ровно три корня.
При 
и при 
уравнение принимает вид
При это уравнение сводится к уравнению которое не имеет корней.
При получаем уравнение которое имеет единственный корень.
При получаем уравнение которое не имеет корней.
Таким образом, при и при исходное уравнение имеет единственный корень x = 0.
Ответ: 
и 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Обоснованно получены оба значения а, в ответ включено не более одного постороннего значения а. | 3 |
| Обоснованно получено одно из значений а. | 2 |
| Получен один из следующих результатов: – задача верно сведена к исследованию квадратных уравнений, полученных после раскрытия модулей; – есть утверждение о симметрии корней исходного уравнения. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
и Найти все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Если x0 является корнем исходного уравнения, то и является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень, только если то есть x0 = 0. Подставим значение x = 0 в исходное уравнение:
откуда либо 
либо 
или 
При 
исходное уравнение принимает вид: x2 = 2|x|. Корнями этого уравнения являются числа −2; 0 и 2, то есть исходное уравнение имеет более одного корня.
При 
и при 
уравнение принимает вид: x2 + 4 = |x − 2| + |x + 2|.
При x < − 2 это уравнение сводится к уравнению x2 + 2x + 4 = 0, которое не имеет корней.
При −2 ≤ x ≤ 2 получаем уравнение x2 = 0, которое имеет единственный корень.
При x > 2 получаем уравнение x2 − 2x + 4 = 0, которое не имеет корней. При и при исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: −9; −5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а | 2 |
| Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Если является корнем исходного уравнения, то и является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень, только если 
то есть 
Подставим значение 
в исходное уравнение:
откуда либо 
либо 
или 
При 
исходное уравнение принимает вид: 
Корнями этого уравнения являются числа 
и то есть исходное уравнение имеет более одного корня.
При 
и при уравнение принимает вид: 
При 
это уравнение сводится к уравнению 
которое не имеет корней.
При 
получаем уравнение 
которое имеет единственный корень.
При 
получаем уравнение 
которое не имеет корней.
При 
и при исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
Обоснованно получены оба значения:  но в ответ включено не более одного постороннего значения  | 3 |
| Обоснованно получено одно из значений | 2 |
| Получен один из следующих результатов: - задача верно сведена к исследованию квадратных уравнений, полученных после раскрытия модулей; - есть утверждение о симметрии корней исходного уравнения. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Если является корнем исходного уравнения, то и является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень, только если то есть Подставим значение в исходное уравнение:
откуда либо либо или
При исходное уравнение принимает вид: Корнями этого уравнения являются числа и то есть исходное уравнение имеет более одного корня.
При и при уравнение принимает вид:
При это уравнение сводится к уравнению которое не имеет корней.
При получаем уравнение которое имеет единственный корень.
При получаем уравнение которое не имеет корней.
При и при исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Запишем уравнение в виде
Если является корнем исходного уравнения, то и является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет нечётное число корней, только если то есть Подставим значение в уравнение:
откуда либо либо или
При уравнение принимает вид Корнями этого уравнения являются числа и то есть уравнение имеет ровно три корня.
При и при уравнение принимает вид
При это уравнение сводится к уравнению которое не имеет корней.
При получаем уравнение которое имеет единственный корень.
При получаем уравнение которое не имеет корней.
Таким образом, при и при исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: и
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| Обоснованно получены все значения: Ответ отличается от верного только исключением точки и/или включением точки | 3 |
| Обоснованно получены все значения: | 2 |
| Верно найдено одно или два из значений | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных вышe | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
и Наверх