Найдите все значения а, при каждом из которых решения неравенства 
образуют отрезок длины 1.
Решение. Перенесем единицу: 
Построим схематично графики функций 
и 
На рисунке видно, что неравенство имеет решения только при 
или 
1. 
Решения образуют отрезок длины 1, если 
откуда 
2. 
Решения образуют отрезок длины 1, если 
откуда 
Ответ: 
Приведем другое решение (автор Александр Соколов).
Изобразим решение неравенства в системе координат 
Прямые 
и 
разбивают плоскость на четыре части, в каждой из которых знаки выражений 
и 
остаются постоянными.
| знак выражения
|  |  | | |
| знак выражения
| | | | |
| соответствующее неравенство |  |  |  |  |
Множество точек, являющееся решением неравенства, на рисунке выделены зелёным цветом.
Очевидно, что решения неравенства образуют отрезок длины 1 ровно два раза.
1 случай: отрезок ограничен прямыми 
(слева) и 
(справа).
Найдём соответствующее значение параметра
откуда 
и 
2 случай: отрезок ограничен прямыми 
(слева) и 
(справа).
Найдём соответствующее значение параметра
откуда 
и 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| Либо получен верный ответ, но при его обосновании допущены ошибки, либо обоснованно получен ответ, отличный от верного только из-за потери одного из значений параметра | 3 |
| Ответ неверен, но в решении представлена правильная графическая интерпретация или правильная аналитика | 2 |
| Ответ, возможно, отсутствует или неверен, но в решении с помощью верного рассуждения найдены промежутки, содержащие правильные значения параметра | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
образуют отрезок длины 1.
и 
или 
откуда 
откуда 
является часть параболы, она выделена на рисунке цветом океанской воды. График функции 
при различных значениях параметра получается сдвигом графика функции 
на |а| единиц влево или вправо.
график правой части неравенства лежит ниже графика левой части, а значит, неравенство не имеет решений. При 
графики имеют единственную общую точку (изображено пурпурным) и неравенство имеет единственное решение. При 
решением неравенства является отрезок. При 
кроме отрезка решением является еще и точка 
(изображено кумачовым), что не подходит по условию. При 
где 
— 
(выделено древесным цветом) решение снова превратится в один отрезок. При 
решение остается отрезком, пока, при 
решением не станет точка (изображено цветом травы). При 
для любых значений переменной из области определения неравенства график модуля лежит ниже графика корня, и неравенство не имеет решений.
в точке касания 
равно угловому коэффициенту касательной, откуда получаем уравнение:
или 
и прямая 
являющаяся правым лучом графика функции 
имеют ровно одну общую точку. Абсцисса x0 этой точки определяется из уравнения:
Найденному значению параметра соответствует уравнение 
то есть 
откуда определяем абсциссу точки касания 
При возведении в квадрат уравнения 
могли появиться посторонние корни, поэтому необходима проверка. Подставляя найденные значения 
тогда задача сводится к исследованию неравенства
Для решения полученной системы можно применить метод областей.
тогда 
то есть 
Проявив опыт и смекалку, запишем полученное неравенство в виде
для 
Поскольку 
для всех y, функция f возрастающая. Следовательно, неравенство относительно значений функции можно заменить равносильным неравенством на аргументы. Тогда 
откуда 
то есть 
которое должно быть выполнено для всех х из отрезка 
положителен, поэтому если значения g на концах отрезка отрицательны, то и на всем отрезке отрицательны. Получаем систему:
получим неравенство 
Запишем это неравенство в виде 
Этим задача сведена к неравенству 
для возрастающей функции 
Таким образом, 
откуда 
Тогда если 
то 
на всем отрезке 
откуда 
то 
Все такие числа t являются решениями, поскольку правая часть не меньше −2.
то левая часть отрицательна, а правая положительна. Неравенство верно. 
то обе части неравенства равны 0. Неравенство неверно. 
то левая часть положительна, а правая отрицательна. Решений нет.
то в силу неравенства 
справедливого для положительных α, получаем:
то 
В этом случае решений нет, поскольку правая часть не больше 2. 
Следовательно, 
и далее как ранее.
при которых неравенство 
выполняется при любых 
Для этого найдём решения уравнения, соответствующего этому неравенству:
является вертикальная прямая, графиком уравнения 
является гипербола с асимптотами 
Для построения гиперболы дополнительно составим таблицу:
— 
— верно.
— 
— неверно.
— 
— верно.
— 
— неверно.
— 
— неверно.
если 
или 
Учитывая, что по условию 
получаем ответ (выделено красным).
такие, что неравенство 
тогда
Если 
то 
является решением системы. Значит, при любом положительном значении параметра исходное неравенство имеет решение. Если 
то полученная система равносильна неравенству 
функция 
убывает. Значит, чтобы отрезок 
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство 
то неравенство верно при любом значении параметра a. Рассмотрим случай 
и первое, и второе неравенства системы имеют решения для любого значения переменной, удовлетворяющего условию 
причем правая часть второго неравенства не меньше правой части первого, а потому и вся система в целом имеет решения. 
где 
Это часть плоскости между двумя параболами с разнонаправленными ветвями. Параметр принимает значения от ординаты нижней вершины до ординаты верхней, поэтому 
Тогда 
и неравенство принимает вид
то 
поэтому достаточно найти все а, при каждом из которых неравенство
при всех 
тогда и только тогда, когда 
Решим эту систему:
или 
или 
или
и 
также соответствуют решениям. Найдем наибольшее из значений параметра при 
получим: 
Таким образом, в рассматриваемом случае решения есть при каждом значении 
и 
получим: 
Таким образом, в рассматриваемом случае решения есть при каждом значении 
то на ОДЗ неравенство верно.
то
исходное неравенство имеет два решения;
— бесконечное число решений;
— одно решение;
— два решения.
то 
или 
то 
то 
или 
то 
или 
то 
или 
то 
то 
то 
включая эту прямую.
(с учётом ОДЗ — дуга этой окружности). Графиком второго уравнения является прямая 
— верно.
— неверно.
неравенство имеет одно решение, при 
неравенство имеет бесконечное число решений, при 
неравенство имеет два решения, при 
неравенство имеет одно решение.
и 
Введём функцию 
где 
Тогда нужно, чтобы неравенство
то 
значит, условие (⁎) не выполняется при всех t из отрезка 
Функция 
— 
Найдём производную функции и стационарную точку: 
тогда 
в двух случаях.
то достаточно выполнения условий
то достаточно выполнения условий
то есть если 
Вернёмся к исходному параметру:
является вертикальная ось. Графиком уравнения 
прямая, проходящая через точки 
и 
полученное уравнение не имеет решений, при 
оно равносильно уравнению
нечётная, ее производная 
положительна при всех 
а потому функция возрастает на 
и на 
График имеет асимптоты 
(выделены оранжевым пунктиром) разбивают плоскость на восемь областей, в каждой из которых знак левой части исходного неравенства остается неизменным. Подставляя координаты какой-либо точки из каждой области, проверяем выполнение исходного неравенства. Области, в которых неравенство выполняется, выделены на рисунке светло-зеленым цветом. 
и 
(выделены синим). Значения x, которые не превосходят по модулю 1, находятся внутри полосы, ограниченной этими прямыми, включая сами прямые. Тогда исходное неравенство выполняется для любых x, не превосходящих по модулю 1, при 
и 
где a1 — меньший корень уравнения 
а a2 — корень уравнения 
Ясно, что 
Найдём a1:
и 
выполняется при любых x.
тогда получим систему
и 
разбивают плоскость xOb на четыре части, в каждой из которых левая часть неравенства (⁎) сохраняет знак (розовым цветом выделены точки, в которых значение выражения 
положительно, а голубым цветом те, в которых отрицательно). Анализируя график, получаем, что неравенство выполняется при любых значениях x тогда и только тогда, когда 
Возвращаясь к параметру a, получаем 
