Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 537138

Найдите все значения параметра а из отрезка  левая квадратная скобка минус 6; 6 правая квадратная скобка при которых неравенство  левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка плюс 3x правая круглая скобка больше 0 выполняется при любых x больше или равно 0.

Спрятать решение

Решение.

Изобразим решение неравенства в плоскости aOx. Для этого найдём решения уравнения, соответствующего этому неравенству:

 левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка плюс 3x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений a плюс 3=0, левая круглая скобка a плюс 5 правая круглая скобка x= минус a минус 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений a= минус 3,x= минус 1 плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: a плюс 5 конец дроби . конец совокупности .

Графиком уравнения a= минус 3 является вертикальная прямая, графиком уравнения x= минус 1 плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: a плюс 5 конец дроби является гипербола с асимптотами x= минус 1, a= минус 5. Для построения гиперболы дополнительно составим таблицу:

a−6−4,5−4−21
x−4520−0,5

Найденные прямая и гипербола (на рис. изображены синим пунктиром) разбивают плоскость aOx на пять частей (обозначены римскими цифрами), в каждой из которых левая часть исходного неравенства сохраняет знак. Проверим для каждого участка выполняется ли исходное неравенство, подставив координаты одной из точек.

Участок I: точка  левая круглая скобка 0;0 правая круглая скобка  —  левая круглая скобка 0 плюс 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка 0 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 0 плюс 2 правая круглая скобка плюс 0 правая круглая скобка больше 0 — верно.

Участок II: точка  левая круглая скобка минус 4;3 правая круглая скобка  —  левая круглая скобка минус 4 плюс 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 4 плюс 2 правая круглая скобка плюс 3 умножить на 3 правая круглая скобка больше 0 — неверно.

Участок III: точка  левая круглая скобка минус 4;0 правая круглая скобка  —  левая круглая скобка минус 4 плюс 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка 0 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 4 плюс 2 правая круглая скобка плюс 3 умножить на 0 правая круглая скобка больше 0 — верно.

Участок IV: точка  левая круглая скобка 0; минус 1 правая круглая скобка  —  левая круглая скобка 0 плюс 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка минус 5 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 0 плюс 2 правая круглая скобка плюс 3 умножить на левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка правая круглая скобка больше 0 — неверно.

Участок V: точка  левая круглая скобка минус 6; минус 5 правая круглая скобка  —  левая круглая скобка минус 6 плюс 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка 0 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 6 плюс 2 правая круглая скобка плюс 3 умножить на 0 правая круглая скобка больше 0 — неверно.

Множество точек, являющихся решением исходного неравенства, изображено на рисунке голубым цветом. Неравенство выполняется при любых x больше или равно 0, если a\leqslant минус 5 или a больше минус 2. Учитывая, что по условию a принадлежит левая квадратная скобка минус 6;6 правая квадратная скобка , получаем ответ (выделено красным).

 

Ответ:  левая квадратная скобка минус 6; минус 5 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка минус 2;6 правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной 2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 307. (Часть C)
Методы алгебры: Перебор случаев