Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 507589

Найдите все значения а, при каждом из которых решения неравенства |2x минус a| плюс 1\leqslant |x плюс 3| образуют отрезок длины 1.

Спрятать решение

Решение.

Перенесем единицу: |2x минус a|\leqslant |x плюс 3| минус 1.

Построим схематично графики функций y=|2x минус a| и y=|x плюс 3| минус 1.

На рисунке видно, что неравенство имеет решения только при  дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби \leqslant минус 4 или  дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби \geqslant минус 2.

 

1)  система выражений a\leqslant минус 8,|2x минус a|\leqslant минус x минус 4 конец системы равносильно система выражений a\leqslant минус 8,2x минус a\leqslant минус x минус 4, 2x минус a\geqslant x плюс 4 конец системы равносильно система выражений a\leqslant минус 8,x\leqslant дробь: числитель: a минус 4, знаменатель: 3 конец дроби , x\geqslant a плюс 4. конец системы

 

Решения образуют отрезок длины 1, если  дробь: числитель: a минус 4, знаменатель: 3 конец дроби минус (a плюс 4)=1, откуда a= минус дробь: числитель: 19, знаменатель: 2 конец дроби .

 

2)  система выражений a\geqslant минус 4,|2x минус a|\leqslant x плюс 2 конец системы равносильно система выражений a\geqslant минус 4,2x минус a\leqslant x плюс 2, 2x минус a\geqslant минус x минус 2 конец системы равносильно система выражений a\geqslant минус 4,x\leqslant a плюс 2, x\geqslant дробь: числитель: a минус 2, знаменатель: 3 конец дроби . конец системы

 

Решения образуют отрезок длины 1, если a плюс 2 минус дробь: числитель: a минус 2, знаменатель: 3 конец дроби =1, откуда a= минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ: a= минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,a= минус дробь: числитель: 19, знаменатель: 2 конец дроби .

 

 

 

Приведем другое решение (автор Александр Соколов).

 

Изобразим решение неравенства |2x минус a| плюс 1\leqslant |x плюс 3| в системе координат xOa.

Прямые a=2x и x= минус 3 разбивают плоскость на четыре части, в каждой из которых знаки выражений (2x минус a) и (x плюс 3) остаются постоянными.

 

знак выражения

(2x минус a)

 плюс  минус  минус  плюс
знак выражения

(x плюс 3)

 плюс  плюс  минус  минус
соответствующее

неравенство

a\geqslant x минус 2a\leqslant 3x плюс 2a\leqslant x минус 4a\geqslant3x плюс 4

 

 

Множество точек, являющееся решением неравенства, на рисунке выделены зелёным цветом.

Очевидно , что решения неравенства образуют отрезок длины 1 ровно два раза.

1 случай: отрезок ограничен прямыми a=3x плюс 2 (слева) и a=x минус 2 (справа).

Найдём соответствующее значение параметра a.

a=3x плюс 2=(x плюс 1) минус 2, откуда x= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби и a= минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби

2 случай: отрезок ограничен прямыми a=x минус 4 (слева) и a=3x плюс 4 (справа).

Найдём соответствующее значение параметра a.

a=x минус 4=3(x плюс 1) плюс 4, откуда x= минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 2 конец дроби и a= минус дробь: числитель: 19, знаменатель: 2 конец дроби

Ответ: a= минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,a= минус дробь: числитель: 19, знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
Либо получен верный ответ, но при его обосновании допущены ошибки, либо обоснованно получен ответ, отличный от верного только из-за потери одного из значений параметра3
Ответ неверен, но в решении представлена правильная графическая интерпретация или правильная аналитика2
Ответ, возможно, отсутствует или неверен, но в решении с помощью верного рассуждения найдены промежутки, содержащие правильные значения параметра1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 507589: 507594 Все

Классификатор алгебры: Подвижная галочка