Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 626203
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс a в квад­ра­те минус 13 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3x плюс 2a конец ар­гу­мен­та \leqslant0

имеет не более двух ре­ше­ний.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим не­ра­вен­ство графо-ана­ли­ти­че­ским спо­со­бом. ОДЗ дан­но­го не­ра­вен­ства:

3x плюс 2a боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но a боль­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x

В си­сте­ме ко­ор­ди­нат по­лу­чен­ное не­ра­вен­ство за­да­ет xOa по­лу­плос­кость, ле­жа­щую выше пря­мой a= минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x, вклю­чая эту пря­мую.

Левая часть об­ра­ща­ет­ся в нуль, если

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x в квад­ра­те плюс a в квад­ра­те минус 13=0,3x плюс 2a=0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x в квад­ра­те плюс a в квад­ра­те =13,a= минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x. конец со­во­куп­но­сти .

В си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOa гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся окруж­ность с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат и ра­ди­у­сом ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та (с учётом ОДЗ  — дуга этой окруж­но­сти). Гра­фи­ком вто­ро­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся пря­мая a= минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x.

Дуга окруж­но­сти делит по­лу­плос­кость, со­от­вет­ству­ю­щую ОДЗ, на две части (внут­ри окруж­но­сти и сна­ру­жи). Про­ве­рим, вы­пол­ня­ет­ся ли не­ра­вен­ство, под­ста­вив ко­ор­ди­на­ты проб­ных точек.

Часть плос­ко­сти внут­ри окруж­но­сти, проб­ная точка левая круг­лая скоб­ка 1; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка :

левая круг­лая скоб­ка 1 в квад­ра­те плюс 0 в квад­ра­те минус 13 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 умно­жить на 1 плюс 2 умно­жить на 0 конец ар­гу­мен­та \leqslant0  — верно.

Часть плос­ко­сти сна­ру­жи окруж­но­сти, проб­ная точка левая круг­лая скоб­ка 0; 5 пра­вая круг­лая скоб­ка :

левая круг­лая скоб­ка 0 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те минус 13 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 умно­жить на 0 плюс 2 умно­жить на 5 конец ар­гу­мен­та \leqslant0  — не­вер­но.

Таким об­ра­зом, не­ра­вен­ству удо­вле­тво­ря­ют ко­ор­ди­на­ты всех точек дуги окруж­но­сти, пря­мой и части круга огра­ни­чен­ной пря­мой снизу (вы­де­ле­но зелёным).

Тогда при a мень­ше или равно минус 3 не­ра­вен­ство имеет одно ре­ше­ние, при минус 3 мень­ше a мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та не­ра­вен­ство имеет бес­ко­неч­ное число ре­ше­ний, при a= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та не­ра­вен­ство имеет два ре­ше­ния, при a боль­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та не­ра­вен­ство имеет одно ре­ше­ние.

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ре­ше­нии до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка или оно не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ходе ре­ше­ния до­пу­ще­на одна ошиб­ка, от­лич­ная от вы­чис­ли­тель­ной 2
По­лу­че­ны не­ко­то­рые вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, од­на­ко ре­ше­ние со­дер­жит более одной ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 380
Классификатор алгебры: Ком­би­на­ция «кри­вых», Ко­ор­ди­на­ты (x, a), Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром, Урав­не­ния сме­шан­но­го типа
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025