1. Тип 18 № 507235 
Классификатор алгебры: Расположение корней квадратного трехчлена
Методы алгебры: Введение замены, Группировка, Метод интервалов
Задача с параметром. Расположение корней квадратного трехчлена
i
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства
содержит отрезок 
Решение. Заметим, что при любых значениях переменной x и параметра a знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству
Для того чтобы множество решений неравенства содержало отрезок 
синус должен принимать все значения 
(см. рис.)
Пусть 
тогда неравенство принимает вид
Рассмотрим функцию 
Для того, чтобы множество решений последнего неравенства содержало отрезок 
необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия 
и 
Ответ: 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но решение недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен промежуток, содержащий верный ответ, либо содержащийся в верном промежутке | 2 |
| Задача сведена к исследованию взаимного расположения частей двух парабол | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ:
507235
Классификатор алгебры: Расположение корней квадратного трехчлена
Методы алгебры: Введение замены, Группировка, Метод интервалов
не имеет действительных корней.
имеет решения, каждое из которых меньше 1. Рассмотрим функцию 
необходимо и достаточно одновременного выполнения неравенств: 
и 
Получаем: 
Если 
то 
— два корня. Если 
тогда 
— единственный корень.
Исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда уравнение 
имеет корни, из которых ровно один больше 1, и при этом 
не является корнем.
имеет ровно один корень, если дискриминант равен нулю:
уравнение 
имеет единственный корень 
В этом случае исходное уравнение имеет единственный корень 
уравнение 
имеет единственный корень 
В этом случае исходное уравнение имеет два корня.
является парабола, ветви которой направлены вверх. Для того чтобы уравнение 
Ответ отличается от верного только включением точек 
или 
Если 
и 
Если 
Исходное уравнение имеет ровно два корня в двух случаях:
имеет ровно один корень, если дискриминант равен нулю:
имеет единственный корень 
В этом случае исходное уравнение не имеет корней.
уравнение 
имеет единственный корень 
В этом случае исходное уравнение имеет два корня.
Ответ отличается от верного только включением точек 
лишь в двух случаях.
Этот случай невозможен. Действительно, пусть 
— 
а потому больший корень лежит правее 
т. е. 
верно для всех x из отрезка [0; 1,5].
и 
В правой части — линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом. Для того, чтобы на отрезке [0; 1,5] прямая лежала ниже графика корня, значение линейной функции при x = 0 должно быть меньше 5, а при x = 1,5 должно быть меньше 10. Решая систему неравенств 
находим, что 
тогда 
Имеем:
соответствуют t, лежащие в отрезке 
неравенство (⁎) верно, поскольку на отрезке 
первое слагаемое в левой части неотрицательно, а другие положительны. Если 
то старший коэффициент квадратичной функции 
отрицателен, а потому для того, чтобы функция f была положительной на 
и 
Тогда 
и 
то есть 
Объединяя со случаем 
окончательно получаем: 
поэтому 
Задачу можно сформулировать так: найдите значения a, при каждом из которых уравнение 
имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию 
не является корнем уравнения.
Её график — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех условий:
то есть 
— абсцисса вершины параболы. Эти условия соответствуют следующим способам расположения графика функции 
:
поэтому 
и преобразуем уравнение. 
имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию 
Левая часть этого уравнения — функция 
графиком которой является парабола, правая часть — функция 
пучок прямых, проходящих через точку 
Для того чтобы исходное уравнение имело решение, необходимо, чтобы графики пересекались при 
должен быть равен нулю. 
а во втором — при 
— графики пересекаются на промежутке 
при 
— графики не пересекаются, при 
— графики пересекаются на промежутке 
Исходное уравнение имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда имеет хотя бы одно решение система
система решений не имеет. При 
имеем:
получим:
Из неравенства 
следует, что 
Имеем: 
Теперь задачу можно сформулировать так: найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 
имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию 
Её график — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех условий:
— абсцисса вершины параболы.
При 
находим:
(см. рис.) и заметим, что график имеет вертикальную асимптоту t = 4 и горизонтальную асимптоту a = 3. Параметр a принимает все значения, кроме [3; 4).
имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1]. Графиком функции 
является парабола, ветви которой направлены вверх, 
(рис. 1) 
откуда 
либо при условии 
(рис. 2) 
откуда 
косинус должен принимать значения 
(см. рис.)
тогда 
и неравенство принимает вид
(2)
(3)
необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия 
удвоенный аргумент должен содержать отрезок 
а косинус двойного угла должен принимать все значения 
(см. рис.).
тогда неравенство принимает вид
необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия 
и 
Преобразуем подкоренное выражение из левой части уравнения. 
Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, для того, чтобы уравнение 
а значит, и исходное уравнение, имело корни как большие −3, так и меньшие −3, необходимо и достаточно, чтобы 
Решим это неравенство:
тогда 
Для того, чтобы исходное неравенство было выполнено при любом значении x, необходимо и достаточно, чтобы неравенство 
было выполнено для всех 
с положительным старшим коэффициентом, эскиз графика которой приведен на рисунке. Для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система 
выполнялось хотя бы при при одном значении а, принадлежащем отрезку 
тогда 
Получаем систему
тогда система имеет решения в том случае, когда уравнение 
имеет хотя бы один корень, удовлетворяющий условию 
Дискриминант этого квадратного уравнения равен 
Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, абсцисса вершины 
При 
абсцисса вершины 
Значит, только один (меньший) корень уравнения 
Для этого достаточно, чтобы 
где 
тогда
Для того чтобы исходное уравнение имело ровно два корня, хотя бы один из которых не менее 0,5, уравнение 
должно иметь два положительных корня, хотя бы один из которых не больше 
Это достигается в двух случаях.
или 
левая часть уравнения не определена, а при 
уравнение принимает вид 
При 
левая часть полученного уравнения отрицательна, а правая неотрицательна, поэтому полученное уравнение не имеет корней, меньших 2. 
получаем: 
Значит, уравнение имеет ровно два корня 
графиком функции 
является парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке 
Поскольку 
и 
неравенства 
и 
выполняются тогда и только тогда, когда 
и 
Получаем: 
и 
следовательно, 
при условиях