Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.
Сделаем замену 
Исходное уравнение имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда имеет хотя бы одно решение система
Преобразуем систему:
При 
система решений не имеет. При 
имеем:
Итак, система имеет решения при
Ответ: 
Приведём другое решение.
Разделим числитель и знаменатель дроби на 
получим:
Сделаем замену 
Из неравенства 
следует, что 
Имеем: 
Теперь задачу можно сформулировать так: найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 
имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию
Перейдем к системе:
Заметим, что ни при одном значении a число 
не является корнем уравнения.
Рассмотрим функцию 
Её график — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех условий:
1. Трёхчлен имеет два различных корня, и только больший из них лежит на промежутке (0; 1])(см. рис. 1), то есть 
2. Трёхчлен имеет два различных корня, и только меньший из них лежит на промежутке (0; 1] (см. рис. 2), то есть 
3. Трёхчлен имеет два корня, возможно, совпадающих, и оба лежат на промежутке (0; 1] (см. рис. 3), то есть 
где 
— абсцисса вершины параболы.
Эти условия соответствуют следующим способам расположения графика функции 
:
Решим систему:
Решим систему:
Решим систему:
откуда 
Ответ:
Приведем идею решение Кирилла Петрова.
Введём замену 
При 
находим:
Построим график функции 
(см. рис.) и заметим, что график имеет вертикальную асимптоту t = 4 и горизонтальную асимптоту a = 3. Параметр a принимает все значения, кроме [3; 4).
Откуда условие, что
Да, собственно, ниоткуда. Это факт фактический, которым мы пользуемся при решении задачи.