ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 532286 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x в квадрате плюс |x| правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 5|x| плюс 6 правая круглая скобка плюс 1 конец аргумента =3|x| минус 3ax минус a в квадрате плюс 1$

имеет корни как большие −3, так и меньшие −3.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $|x|=t.$ Преобразуем подкоренное выражение из левой части уравнения.

$левая круглая скобка t в квадрате плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате плюс 5t плюс 6 правая круглая скобка плюс 1 = t левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка плюс 1 = t левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка плюс 1 =$ $левая круглая скобка t в квадрате плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате плюс 5t плюс 6 правая круглая скобка плюс 1 = t левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка плюс 1 =$
$= t левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка плюс 1 =$

$= левая круглая скобка t в квадрате плюс 3t правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате плюс 3t плюс 2 правая круглая скобка плюс 1= левая круглая скобка t в квадрате плюс 3t правая круглая скобка в квадрате плюс 2 левая круглая скобка t в квадрате плюс 3t правая круглая скобка плюс 1= левая круглая скобка t в квадрате плюс 3t плюс 1 правая круглая скобка в квадрате$

Тогда для исходного уравнения получаем:

$корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x в квадрате плюс 3|x| плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = 3|x| минус 3ax минус a в квадрате плюс 1 равносильно \left|x в квадрате плюс 3|x| плюс 1|= 3|x| минус 3ax минус a в квадрате плюс 1 равносильно$ $корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x в квадрате плюс 3|x| плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = 3|x| минус 3ax минус a в квадрате плюс 1 равносильно$
$равносильно \left|x в квадрате плюс 3|x| плюс 1|= 3|x| минус 3ax минус a в квадрате плюс 1 равносильно$

$равносильно x в квадрате плюс 3|x| плюс 1 = 3|x| минус 3ax минус a в квадрате плюс 1 равносильно x в квадрате = минус 3ax минус a в квадрате равносильно x в квадрате плюс 3ax плюс a в квадрате =0.$ $равносильно x в квадрате плюс 3|x| плюс 1 = 3|x| минус 3ax минус a в квадрате плюс 1 равносильно$
$равносильно x в квадрате = минус 3ax минус a в квадрате равносильно x в квадрате плюс 3ax плюс a в квадрате =0.$

Пусть $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате плюс 3ax плюс a в квадрате .$ Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, для того, чтобы уравнение $x в квадрате плюс 3ax плюс a в квадрате =0,$ а значит, и исходное уравнение, имело корни как большие −3, так и меньшие −3, необходимо и достаточно, чтобы $f левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка меньше 0.$ Решим это неравенство:

$левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 3a умножить на левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка плюс a в квадрате меньше 0 равносильно a в квадрате минус 9a плюс 9 меньше 0 равносильно дробь: числитель: 9 минус 3 корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 9 плюс 3 корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби .$ $левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 3a умножить на левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка плюс a в квадрате меньше 0 равносильно$
$равносильно a в квадрате минус 9a плюс 9 меньше 0 равносильно дробь: числитель: 9 минус 3 корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 9 плюс 3 корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 9 минус 3 корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 9 плюс 3 корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано.	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной.	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 302 (часть 2)

Классификатор алгебры: Расположение корней квадратного трехчлена, Уравнения с параметром

Методы алгебры: Введение замены

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь