Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 560938
i

Найти все зна­че­ния х, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

левая круг­лая скоб­ка 2 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на x в кубе плюс левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на x в квад­ра­те минус 6x плюс левая круг­лая скоб­ка 5 плюс 4a минус a в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0

вы­пол­ня­ет­ся хотя бы при одном зна­че­нии а, при­над­ле­жа­щем от­рез­ку [−1; 2].

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство, рас­крыв скоб­ки, и за­пи­шем его как квад­рат­ное от a:

левая круг­лая скоб­ка 2 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на x в кубе плюс левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на x в квад­ра­те минус 6x плюс левая круг­лая скоб­ка 5 плюс 4a минус a в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 2x в кубе минус ax в кубе плюс x в квад­ра­те минус 2ax в квад­ра­те минус 6x плюс 5 плюс 4a минус a в квад­ра­те мень­ше 0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но a в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка x в кубе плюс 2x в квад­ра­те минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка a минус 2x в кубе минус x в квад­ра­те плюс 6x минус 5 боль­ше 0.

Рас­смот­рим f левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка =a в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка x в кубе плюс 2x в квад­ра­те минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка a минус 2x в кубе минус x в квад­ра­те плюс 6x минус 5  — квад­ра­тич­ную функ­цию с по­ло­жи­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том. Для того чтобы не­ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 вы­пол­ня­лось хотя бы при при одном зна­че­нии а, при­над­ле­жа­щем от­рез­ку [−1; 2] не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы не вы­пол­ня­лась си­сте­ма

си­сте­ма вы­ра­же­ний f левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \leqslant0,f левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \leqslant0, конец си­сте­мы .

то есть вы­пол­ня­лась со­во­куп­ность

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний f левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0,f левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 1 минус x в кубе минус 2x в квад­ра­те плюс 4 минус 2x в кубе минус x в квад­ра­те плюс 6x минус 5 боль­ше 0,4 плюс 2x в кубе плюс 4x в квад­ра­те минус 8 минус 2x в кубе минус x в квад­ра­те плюс 6x минус 5 боль­ше 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус 3x в кубе минус 3x в квад­ра­те плюс 6x боль­ше 0,3x в квад­ра­те плюс 6x минус 9 боль­ше 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0,x в квад­ра­те плюс 2x минус 3 боль­ше 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше минус 2,0 мень­ше x мень­ше 1,x боль­ше 1. конец со­во­куп­но­сти .

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ре­ше­нии до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка или оно не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ходе ре­ше­ния до­пу­ще­на одна ошиб­ка, от­лич­ная от вы­чис­ли­тель­ной.2
По­лу­че­ны не­ко­то­рые вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, од­на­ко ре­ше­ние со­дер­жит более одной ошиб­ки.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 346
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром, Рас­по­ло­же­ние кор­ней квад­рат­но­го трех­чле­на
Методы алгебры: Метод ин­тер­ва­лов
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025