Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 549978
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых не­ра­вен­ство

синус в сте­пе­ни 4 x плюс ко­си­нус в сте­пе­ни 4 x боль­ше a умно­жить на синус x умно­жить на ко­си­нус x

вы­пол­не­но при любом зна­че­нии x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что синус x умно­жить на ко­си­нус x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 2x,

синус в сте­пе­ни 4 x плюс ко­си­нус в сте­пе­ни 4 x= левая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2 синус в квад­ра­те x ко­си­нус в квад­ра­те x=1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус в квад­ра­те 2x.

Тогда по­лу­ча­ем:

синус в сте­пе­ни 4 x плюс ко­си­нус в сте­пе­ни 4 x боль­ше a синус x ко­си­нус x рав­но­силь­но 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус в квад­ра­те 2x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a синус 2x рав­но­силь­но синус в квад­ра­те 2x плюс a синус 2x минус 2 мень­ше 0.

Пусть t= синус 2x, тогда минус 1 мень­ше или равно t\leqslant1. Для того, чтобы ис­ход­ное не­ра­вен­ство было вы­пол­не­но при любом зна­че­нии x, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы не­ра­вен­ство t в квад­ра­те плюс at минус 2 мень­ше 0 было вы­пол­не­но для всех минус 1 мень­ше или равно t\leqslant1. Рас­смот­рим квад­ра­тич­ную функ­цию f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =t в квад­ра­те плюс at минус 2 с по­ло­жи­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том, эскиз гра­фи­ка ко­то­рой при­ве­ден на ри­сун­ке. Для вы­пол­не­ния усло­вия за­да­чи не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы вы­пол­ня­лась си­сте­ма

си­сте­ма вы­ра­же­ний f левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0,f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус a минус 2 мень­ше 0,1 в квад­ра­те плюс a минус 2 мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a боль­ше минус 1,a мень­ше 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но минус 1 мень­ше a мень­ше 1.

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус 1; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ре­ше­нии до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка или оно не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ходе ре­ше­ния до­пу­ще­на одна ошиб­ка, от­лич­ная от вы­чис­ли­тель­ной.2
По­лу­че­ны не­ко­то­рые вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, од­на­ко ре­ше­ние со­дер­жит более одной ошиб­ки.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 322 (часть C)
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром, Рас­по­ло­же­ние кор­ней квад­рат­но­го трех­чле­на
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026