PDF-версии: 
Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30°.
Решение. Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны на синус его угла. С другой стороны, площадь ромба равна произведению длины его основания на длину высоты, опущенной на это основание. Следовательно, если сторона ромба равна a, то 
Из полученного уравнения 
поэтому 
Ответ: 8.
Приведем решение Владика Юрченко.
Пусть острым углом ромба является угол A. Проведем высоту ромба из вершины B к стороне AD и рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, где точка H — точка пересечения высоты и стороны AD. Угол A равен 30°, следовательно, 
поскольку катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, 
В ромбе все стороны равны, тогда площадь ромба
если 
равна
предыдущих групп: оно равно 
Общее количество перестановок из всех 
Поэтому искомая вероятность равна 
если 
и касательная к нему в точке с абсциссой 
Найдите значение производной функции 
в точке 
где t — время в минутах, 
мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а 
мин2 — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки 
достигнет 
Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.
при заданных значениях параметров 
и 
:
Угол намотки достигнет значения 1200° при t = 20 мин.
км/ч,
км/ч.
(часов), отсюда имеем:
и 
которые пересекаются в точках 
Значит, график 
— оранжевым. По рисунку определяем, что g(−3) = 2, g(−1) = −2, g(2) = 7. Тогда
получим квадратное уравнение 
корнями которого являются числа 
и 
Уравнение 
не имеет решений, а из уравнения 
находим корни 
или 
Решим неравенства:
откуда 
или 
и 
б) 
— середина 
Очевидно, 
Проведем 
Это прямая, содержащая среднюю линию треугольника 
так как 
и проходит через середину 
— K. Рассмотрим плоскость 
Отрезок BK лежит в ней и в плоскости 
поэтому надо узнать, как отрезок BK делит отрезок 
— диагональ прямоугольника 
со сторонами 
При этом 
Тогда
получим:
млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы 
Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При этом в первый год p = 10, а далее каждый год возрастает 
или 
Наибольшее значение данного выражения достигается при производстве 
тыс. ед.
млн. руб.
достигается в точке 
и равна 
млн. руб.,
млн. руб.
млн. руб.
млн. руб.
Получаем, что
то есть на отрезке 
функция имеет вид
Возможное расположение этих парабол показано на рисунках.
принадлежит отрезку 
то наименьшее значение функция может принимать только в точках 
и 
Если 
— то в точке 
тогда и только тогда, когда:
либо 
или 
и 
Имеем:
верно для всех х. 
и запишем неравенство в виде
а на этом отрезке является отражением лежащей ниже оси абсцисс части этой параболы в верхнюю полуплоскость (см. рис.).
и параболы 
Для этого приравняем к нулю дискриминант квадратного уравнения 
касание происходит именно с графиком функции 
а не с лежащей ниже оси абсцисс частью параболы 
Рассмотрим прямую p, проходящую через точки с координатами (0; −24) и (5; 0). Определим ее угловой коэффициент: 
Сравним угловые коэффициенты k1 и k2:
а потому справа от общей точки (0; −24) касательная проходит ниже прямой p и, значит, касается параболы в точке лежащей выше оси абсцисс. Тем самым подходят все значения k такие, что: 
Возвращаясь к параметру a, получаем: 
или 
(поскольку число 1 на доске никогда не появится). Значит, после 49 ходов сумма станет минимум 
Поэтому после пятидесятого хода 
В то же время 
и 
потому что левая часть нечетна, а правая четна.
или 
Поэтому модуль разности чисел меняется 