1.
i
Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности,
Заголовок:
Комментарий:
Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности,
На координатной плоскости изображены векторы
и 
Вектор 
разложен по двум неколлинеарным векторам 
и 
где k и l — коэффициенты разложения. Найдите k.
Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными
Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?
Садовник принес две корзинки фруктов. В одной из них 2 яблока и 6 персиков, а в другой —
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображён график
— производной функции 
определенной на интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−3; 2] функция 
принимает наибольшее значение?
Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных изданий на основе показателей информативности In, оперативности Op и объективности Tr публикаций. Каждый показатель — целое число от −2 до 2.
Составители рейтинга считают, что информативность публикаций ценится втрое, а объективность — вдвое дороже, чем оперативность. Таким образом, формула приняла вид
Найдите, каким должно быть число A, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг 30.
Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?
На рисунке изображён график функции
Найдите 
Найдите наименьшее значение функции 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 
а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от этой плоскости.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Решите неравенство: 
Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры типов А и В. Количество загруженных на баржу контейнеров типа В не менее чем на 25% превосходит количество загруженных контейнеров
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 12, BC = 5. Окружность радиуса 
с центром O на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.
а) Докажите, что радиус второй окружности меньше, чем 
длины катета AC.
б) Найдите радиус второй окружности.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система 
имеет ровно два решения.
Вася и Петя решали задачи из сборника, причем каждый следующий день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя — на две задачи больше, чем в предыдущий. В первый день каждый решил хотя бы одну задачу, а в итоге каждый решил все задачи сборника.
а) Могло ли быть в сборнике 85 задач?
б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней?
в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 300.
Тогда 
и 
находим:
и 
формулой
:
км/ч — скорость второго пешехода, тогда скорость первого — 
км/ч.
часа,
минут.
Тогда
Найдём значение 
:
возрастающая, заданная функция достигает наименьшего значения в той же точке, в которой достигает наименьшего значения выражение 
Квадратный трехчлен 
с положительным старшим коэффициентом достигает наименьшего значения в точке 
б) 
равно 
Поэтому расстояния от центров оснований до хорд равны 
— середины хорд, B — проекция 
поэтому следует выбирать знак 
что как раз и означает, что хорды лежат по разные стороны от центров оснований, поэтому центры лежат по разные стороны от плоскости.
тоже. Поэтому
и сократив левую часть 
тогда получим
Тогда вес контейнеров 
т,
Кроме того, должно выполняться условие: 
значит,
Значит, 
то 
Натуральных решений нет. 
то 
Натуральных решений нет. 
то 
Натуральных решений нет. 
то 
Натуральное решение: 
следовательно, 
Тогда 
Поэтому 
что и требовалось доказать.
По теореме Пифагора в треугольнике QOH:
тогда 
Площадь треугольника АВС равна сумме площадей треугольников BQC, AQC и AQB. Выразим площадь:
Найденное значение радиуса второй окружности удовлетворяет условию пункта а) задачи, тем самым доказывая утверждение «радиус второй окружности меньше 
центр которой ― точка 
― лежит на прямой 
Поскольку оба графика симметричны относительно прямой 
система будет иметь ровно два решения тогда и только тогда, когда расстояние PK от центра окружности до прямой 
будет равняться радиусу 
данной окружности. Из треугольника POK находим: 
где 
― угловой коэффициент прямой 
Таким образом, 
откуда 
или 
или 
задач, а Петя за m дней решил 
задач.
Очевидно, что и это уравнение имеет решения в натуральных числах. Например, 
Тогда m — один из делителей числа 213. Заметим, что 71 — простое число, и по условию 
Тогда или 
или 
При любом из этих значений получаем 
Значит, в сборнике не могло быть 213 задач. 
Следовательно, 
получаем 
тогда 
Проверим, мог ли Вася за 16 дней решить 289 задач: 
Левая часть уравнения кратна 8, а правая нет, значит, m не может равняться 17.
Имеем 
Левая часть уравнения кратна 2, а правая нет. Значит, m не может равняться 16.
Имеем 
Левая часть уравнения кратна 15, правая может быть кратна 15 при 
но тогда 
Значит, m не может равняться 15.
Имеем 
Это уравнение имеет решение 
При этом 
Таким образом, все условия задачи выполнены.