Ре­ше­ние. Тре­уголь­ни­ки CFO и DEO  — рав­но­бед­рен­ные, по­то­му что и Тре­уголь­ни­ки BOF и COF равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе. Сле­до­ва­тель­но, Ана­ло­гич­но Таким об­ра­зом, сред­няя линия равна

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Вы­пи­шем ко­ор­ди­на­ты век­то­ров: Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров равно

Ответ: 40.

Ре­ше­ние. Объем приз­мы равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ее ос­но­ва­ния на вы­со­ту и вы­ра­жа­ет­ся через сто­ро­ну ос­но­ва­ния а и вы­со­ту Н фор­му­лой По­это­му а зна­чит, при уве­ли­че­нии сто­ро­ны а в 4 раза зна­ме­на­тель уве­ли­чит­ся в 16 раз, то есть вы­со­та умень­шит­ся в 16 раз и будет равна 5 см.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Жре­бий на­чать игру может вы­пасть каж­до­му из че­ты­рех маль­чи­ков. Ве­ро­ят­ность того, что это будет имен­но Петя, равна одной чет­вер­той.

Ответ: 0,25.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся в пер­вом ав­то­ма­те, равна 1 − 0,3  =  0,7. Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся во вто­ром ав­то­ма­те, равна 1 − 0,3  =  0,7. Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся хотя бы в одном ав­то­ма­те, равна 1 − 0,12  =  0,88. По­сколь­ку P(A + B)  =  P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88  =  0,7 + 0,7 − х, от­ку­да ис­ко­мая ве­ро­ят­ность х  =  0,52.

Ответ: 0,52.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Рас­смот­рим со­бы­тия:

Тогда

По усло­вию P(A)  =  P(B)  =  0,3; P(A·B)  =  0,12. Со­бы­тия A и B сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность суммы двух сов­мест­ных со­бы­тий равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, умень­шен­ной на ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния:

Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия, со­сто­я­ще­го в том, что кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 1 − 0,48  =  0,52.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что со­бы­тия А и В не яв­ля­ют­ся не­за­ви­си­мы­ми. Дей­стви­тель­но, ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий была бы равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: P(A·B)  =  0,3·0,3  =  0,09, од­на­ко по усло­вию эта ве­ро­ят­ность равна 0,12.

Ре­ше­ние. Ис­поль­зуя фор­му­лу по­лу­ча­ем:

Ответ: 13,4.

При­ве­дем ре­ше­ние Ма­го­ме­да Га­джи­ума­ро­ва.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

При­ме­ча­ние.

Сле­ду­ет от­ли­чать это урав­не­ние от по­хо­же­го, но дру­го­го: В этом слу­чае имеем:

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 1.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ния в скоб­ках, затем ис­поль­зу­ем фор­му­лу

Ре­ше­ние. По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой y  =  6 или сов­па­да­ет с ней, их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты равны 0. Уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной равен зна­че­нию про­из­вод­ной в точке ка­са­ния. У дан­ной функ­ции про­из­вод­ная равна нулю толь­ко в точ­ках экс­тре­му­ма функ­ции. На за­дан­ном ин­тер­ва­ле функ­ция имеет 2 мак­си­му­ма и 2 ми­ни­му­ма, итого 4 экс­тре­му­ма. Таким об­ра­зом, ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y  =  6 или сов­па­да­ет с ней в 4 точ­ках.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Пусть и   — на­чаль­ные, а и   — ко­неч­ные зна­че­ния дав­ле­ния и объ­е­ма газа со­от­вет­ствен­но. Усло­вие озна­ча­ет, что от­ку­да За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства при­чем по усло­вию :

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. При­мем рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми 1. Пусть время дви­же­ния ве­ло­си­пе­ди­ста равно x ч, тогда время дви­же­ния мо­то­цик­ли­ста равно ч, К мо­мен­ту встре­чи они на­хо­ди­лись в пути 48 минут и в сумме пре­одо­ле­ли всё рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми, по­это­му

Таким об­ра­зом, ве­ло­си­пе­дист на­хо­дил­ся в пути 4 часа.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. По ри­сун­ку опре­де­ля­ем, что тогда

Зна­чит, решим урав­не­ние :

Ответ: −7.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Наи­мень­шим зна­че­ни­ем за­дан­ной функ­ции на от­рез­ке будет

Ответ: −1.

Ре­ше­ние. а)  

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим число

Ответ: а)    б)

Ре­ше­ние. а)  Про­ведём ме­ди­а­ну S₁M тре­уголь­ни­ка SS₁B, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок BB₁, яв­ля­ю­щий­ся ме­ди­а­ной тре­уголь­ни­ка BCD, в точке T. Тогда ВТ : ТВ₁  =  4 : 5, по­сколь­ку T  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка SS₁B, а O  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка BCD.

Точка L, в свою оче­редь, делит от­ре­зок B₁D в от­но­ше­нии DL : LВ₁  =  4 : 5, так как LD : LC  =  2 : 7, а BB₁  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка BCD.

Сле­до­ва­тель­но, сто­ро­на се­че­ния, про­хо­дя­щая через точки L и T, па­рал­лель­на сто­ро­не BD ос­но­ва­ния BCD. Пусть пря­мая LT пе­ре­се­ка­ет BC в точке P.

Про­ведём в тре­уголь­ни­ке SBD через точку M сред­нюю линию, пусть она пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну SD в точке K. Тогда PMKL  — ис­ко­мое се­че­ние, причём BP  =  DL и BM  =  KD. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков BMP и DKL по­лу­чим MP  =  KL, а зна­чит, PMKL  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Боль­шее ос­но­ва­ние PL тра­пе­ции равно 7, по­сколь­ку тре­уголь­ник LPC пра­виль­ный. Вто­рое ос­но­ва­ние MK равно 4,5, по­сколь­ку MK  — сред­няя линия пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка SBD. Сле­до­ва­тель­но, сред­няя линия тра­пе­ции равна

Ответ: 5,75.

Ре­ше­ние. Пе­ре­пи­шем не­ра­вен­ство в виде и по­ло­жим

Тогда и, зна­чит,

Далее имеем: от­ку­да

Ответ:

Ре­ше­ние. Если пен­си­он­ный фонд про­даст цен­ные бу­ма­ги в конце кода k, то в конце два­дцать пя­то­го года на его счёте будет тыс. руб.

Най­дем про­из­вод­ную по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния:

За­ме­тим, что най­ден­ная про­из­вод­ная равна нулю в един­ствен­ной точке по­ло­жи­тель­на при и от­ри­ца­тель­на при Сле­до­ва­тель­но, воз­рас­та­ет на и убы­ва­ет на Из усло­вия из­вест­но, что про­да­вать бу­ма­ги не­об­хо­ди­мо в конце 21 года, сле­до­ва­тель­но, доход, по­лу­чен­ный при про­да­же бумаг в конце 21 года, боль­ше, чем доход, ко­то­рый мог бы по­лу­чить фонд при про­да­же бумаг в конце 20-⁠го года и в конце 22 года. Из вы­яс­нен­но­го выше ха­рак­те­ра мо­но­тон­но­сти функ­ции можно за­клю­чить, что вы­пол­не­ние не­ра­венств и га­ран­ти­ру­ет, что для всех зна­че­ний k, от­лич­ных от 21. А зна­чит, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но найти ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств: и

При­ме­ча­ние. В ре­ше­нии нель­зя огра­ни­чить­ся толь­ко ре­ше­ни­ем не­ра­венств (*). Из того, что доход при про­да­же бумаг в конце 21 года боль­ше, чем доход при их про­да­же в конце 20 и 22 годов не сле­ду­ет, что этот доход боль­ше, чем при про­да­же в любой дру­гой год, а имен­но это ого­во­ре­но в усло­вии. Од­на­ко можно обой­тись без про­из­вод­ной.

На­при­мер, рас­смот­рим раз­ность пред­по­ла­га­е­мых до­хо­дов от про­да­жи цен­ных бумаг в конце года и года k:

Пер­вый мно­жи­тель по­ло­жи­те­лен, вто­рой может ме­нять знак. По­ло­жи­тель­ность про­из­ве­де­ния озна­ча­ет, что доход, ко­то­рый по­лу­чит фонд, про­дав цен­ные бу­ма­ги в конце года k, мень­ше до­хо­да при их про­да­же в сле­ду­ю­щем году. От­ри­ца­тель­ность про­из­ве­де­ния озна­ча­ет, что доход, ко­то­рый по­лу­чит фонд, про­дав цен­ные бу­ма­ги в конце года k, боль­ше до­хо­да, ко­то­рый можно по­лу­чить при про­да­же бумаг в сле­ду­ю­щем году.

Пусть По­сколь­ку квад­рат­ный трёхчлен имеет един­ствен­ный ко­рень на по­ло­жи­тель­ной по­лу­оси, и по­то­му если для не­ко­то­ро­го на­ту­раль­но­го числа k вы­пол­не­но не­ра­вен­ство то для лю­бо­го вы­пол­не­но не­ра­вен­ство Из этого сле­ду­ет, что если доход при про­да­же акций в какой-то год ока­зал­ся менее вы­год­ным, чем доход при их про­да­же в преды­ду­щий год, то и во все по­сле­ду­ю­щие годы про­да­вать акции будет менее вы­год­но.

По­сколь­ку цен­ные бу­ма­ги нужно про­да­вать стро­го в конце два­дцать пер­во­го года, долж­ны быть од­но­вре­мен­но вы­пол­не­ны не­ра­вен­ства и то есть и Зна­чит, и от­ку­да

При­ведём дру­гое рас­суж­де­ние. Опре­де­лим, во сколь­ко раз уве­ли­чи­ва­ет­ся сто­и­мость цен­ных бумаг по срав­не­нию с их сто­и­мо­стью в преды­ду­щий год, если фонд не про­да­ет цен­ные бу­ма­ги, а хра­нит их:

По­лу­чен­ное от­но­ше­ние мо­но­тон­но убы­ва­ет с ро­стом k, по­это­му если фонд хра­нит цен­ные бу­ма­ги, не про­да­вая их, с те­че­ни­ем лет при­рост до­хо­да па­да­ет, при­бли­жа­ясь к еди­ни­це. В силу по­ка­зан­но­го убы­ва­ния, если мо­мент про­да­жи на­сту­пил в конце 21 года, то он не мог на­сту­пить ни рань­ше, ни позже. По­это­му ре­ше­ния двой­но­го не­ра­вен­ства

дадут ис­ко­мые зна­че­ния r. Пер­вое из этих не­ра­венств озна­ча­ет, что доход от хра­не­ния цен­ных бумаг в те­че­ние 22-⁠го года при­не­сет мень­ше при­бы­ли, чем в слу­чае их про­да­жи в конце 21-⁠го года,  — ждать не имеет смыс­ла, по­сколь­ку до­ход­ность стала мень­ше бан­ков­ской и будет мень­ше во все сле­ду­ю­щие годы. Вто­рое не­ра­вен­ство озна­ча­ет, что рань­ше про­да­вать тоже не имело смыс­ла  — доход от хра­не­ния цен­ных бумаг в 21-⁠м году пре­вы­ша­ет доход, ко­то­рый был бы по­лу­чен от банка, и так было все преды­ду­щие годы.

Оста­лось за­ме­тить, что

Ре­ше­ние. а)  Углы APC и AQC  — пря­мые, зна­чит, точки A, Q, P и C лежат на одной окруж­но­сти с диа­мет­ром AC, а сле­до­ва­тель­но, равны и впи­сан­ные углы PAC и PQC этой окруж­но­сти, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу PC, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABP и CBQ имеют общий угол ABC, сле­до­ва­тель­но, они по­доб­ны, от­ку­да или но тогда и тре­уголь­ни­ки BAC и BPQ также по­доб­ны, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен от­ку­да Тогда ра­ди­ус R окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, равен

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что при любых зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной x и па­ра­мет­ра a зна­ме­на­тель дроби в левой части не­ра­вен­ства по­ло­жи­те­лен, по­это­му ис­ход­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но не­ра­вен­ству

Для того чтобы мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства со­дер­жа­ло от­ре­зок синус дол­жен при­ни­мать все зна­че­ния (см. рис.)

Пусть тогда не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид

Рас­смот­рим функ­цию Для того, чтобы мно­же­ство ре­ше­ний по­след­не­го не­ра­вен­ства со­дер­жа­ло от­ре­зок не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы од­но­вре­мен­но вы­пол­ня­лись два усло­вия и

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  За­ду­ман­ные числа 2, 2, 2, 2, 2 дают тре­бу­е­мый набор, за­пи­сан­ный на доске. (Или числа 2, 4, 4, или 2, 2, 2, 4.)

б)  По­сколь­ку за­ду­ман­ные числа на­ту­раль­ные, то наи­мень­шее число в на­бо­ре  — это наи­мень­шее из за­ду­ман­ных чисел, а наи­боль­шее число в на­бо­ре  — это сумма всех за­ду­ман­ных чисел. Среди чисел за­пи­сан­но­го на­бо­ра долж­на быть сумма всех чисел, кроме наи­мень­ше­го, то есть 22 − 1  =  21. Но этого числа нет в на­бо­ре, по­это­му не су­ще­ству­ет при­ме­ра таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­ро­го на доске будет вы­пи­сан набор из усло­вия.

в)  Число 7  — наи­мень­шее число в на­бо­ре  — яв­ля­ет­ся наи­мень­шим из за­ду­ман­ных чисел, а наи­боль­шее число в на­бо­ре  — это сумма всех за­ду­ман­ных чисел. По­это­му ко­ли­че­ство за­ду­ман­ных чисел не пре­вос­хо­дит целой части  , то есть 5. Кроме того, числа 8 и 10 мень­ше, чем сумма двух чисел 7, по­это­му они также яв­ля­ют­ся за­ду­ман­ны­ми. Зна­чит, сумма остав­ших­ся за­ду­ман­ных чисел равна 41 − 7 − 8 − 10  =  16. Таким об­ра­зом, по­сколь­ку наи­мень­шее за­ду­ман­ное число равно 7, остав­ши­е­ся за­ду­ман­ные числа  — это 8 и 8 или 16. Для за­ду­ман­ных чисел 7, 8, 8, 8, 10 и 7, 8, 10, 16 на доске будет за­пи­сан набор, дан­ный в усло­вии.

Ответ: а)  2, 2, 2, 2, 2 (или 2, 4, 4 или 2, 2, 2, 4); б)  нет; в)  7, 8, 8, 8, 10 или 7, 8, 10, 16.