ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 509981 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15=4|2x минус y минус 10|,x плюс 2y=a конец системы .$

имеет более двух решений.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем первое уравнение системы:

$x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15=4|2x минус y минус 10| равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15=4 левая круглая скобка 2x минус y минус 10 правая круглая скобка ,2x минус y минус 10 больше или равно 0, конец системы . система выражений x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15= минус 4 левая круглая скобка 2x минус y минус 10 правая круглая скобка ,2x минус y минус 10 меньше 0 конец системы . конец совокупности . равносильно$ $x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15=4|2x минус y минус 10| равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15=4 левая круглая скобка 2x минус y минус 10 правая круглая скобка ,2x минус y минус 10 больше или равно 0, конец системы . система выражений x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15= минус 4 левая круглая скобка 2x минус y минус 10 правая круглая скобка ,2x минус y минус 10 меньше 0 конец системы . конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате минус 16x плюс y в квадрате плюс 8y плюс 55=0, y меньше или равно 2x минус 10, конец системы . система выражений x в квадрате плюс y в квадрате =25,y больше 2x минус 10 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка в квадрате =25, y меньше или равно 2x минус 10, конец системы . система выражений x в квадрате плюс y в квадрате =25,y больше 2x минус 10. конец системы . конец совокупности .$

Тем самым, первое уравнение задаёт объединение дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ окружностей радиуса $5$ с центрами в точках $O_1 левая круглая скобка 8; минус 4 правая круглая скобка$ и $O_2 левая круглая скобка 0;0 правая круглая скобка ,$ лежащих ниже и выше прямой $y=2x минус 10$ соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках $A левая круглая скобка 5;0 правая круглая скобка$ и $B левая круглая скобка 3; минус 4 правая круглая скобка .$ Заметим, что точка касания $C левая круглая скобка корень из 5 ;2 корень из 5 правая круглая скобка$ лежит на дуге $\omega_2$ и прямая $O_2C$ перпендикулярна прямой $O_1O_2,$ поскольку произведение угловых коэффициентов данных прямых равно −1.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой $O_1O_2$ или совпадающую с ней.

При $a=5$ прямая m пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.

Аналогично, при $a= минус 5$ прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения.

При $a = 5 корень из 5$ прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг $\omega_1$ и $\omega_2,$ то есть исходная система имеет два решения.

Аналогично, при $a= минус 5 корень из 5$ прямая m касается дуг $\omega_1$ и $\omega_2,$ то есть исходная система имеет два решения.

При $минус 5 корень из 5 меньше a меньше минус 5$ или $5 меньше a меньше 5 корень из 5$ прямая m пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в двух точках, отличных от точек A и B, то есть исходная система имеет четыре решения.

При $минус 5 меньше a меньше 5$ прямая m пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в точке, отличной от точек A и B, то есть исходная система имеет два решения.

При $a меньше минус 5 корень из 5$ или $a больше 5 корень из 5$ прямая m не пересекает дуги $\omega_1$ и $\omega_2,$ то есть исходная система не имеет решений.

Значит, исходная система имеет более двух решений при $минус 5 корень из 5 меньше a\leqslant минус 5$ или $5 меньше или равно a меньше 5 корень из 5 .$

Ответ: $минус 5 корень из 5 меньше a\leqslant минус 5;5 меньше или равно a меньше 5 корень из 5 .$

-------------
Дублирует задание № 510104.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек a = −5 и/или a = 5.	3
При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля.	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически или графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источники:

ЕГЭ — 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант Ларина;

ЕГЭ по математике 04.06.2015. Основная волна. Вариант 537;

Задания 18 (С6) ЕГЭ 2015.

Методы алгебры: Использование симметрий, оценок, монотонности, Использование симметрий, оценок, монотонности

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь