РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 8074026

ЕГЭ — 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант Ларина.

В доме, в котором живет Игорь, один подъезд. На каждом этаже по шесть квартир. Игорь живет в квартире 47. На каком этаже живет Игорь?

Этаж	Квартиры
1	1  — 6
2	7  — 12
3	13  — 18
4	19  — 24
5	25  — 30
6	31  — 36
7	37  — 42
8	43  — 48

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали  — температура в градусах Цельсия. Определите по приведенной диаграмме, сколько месяцев среднемесячная температура не превышала 14 градусов Цельсия.

Для транспортировки 43 тонн груза на 1400 км можно воспользоваться услугами одной из трех фирм‐перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей каждого перевозчика указаны в таблице.

Перевозчик	Стоимость перевозки одним автомобилем (руб. на 100 км)	Грузоподъемность одного автомобиля (тонн)
А	3700	3,5
Б	4300	5
В	9800	12

Во сколько рублей обойдется наиболее дешевый вариант перевозки?

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 3 прыгуна из Чехии и 2 прыгуна из Боливии. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что двенадцатым будет выступать прыгун из Чехии.

Найдите корень уравнения $левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2x плюс 9 правая круглая скобка в квадрате .$

Угол ACB равен 51°. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 144°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

На рисунке изображен график $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале (−3; 19). Найдите количество точек максимума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ принадлежащих отрезку [−2; 15].

В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 17, а сторона основания равна 8. Найдите высоту пирамиды.

10.  

Найдите значение выражения $корень из: начало аргумента: 72 конец аргумента косинус в квадрате дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус корень из: начало аргумента: 18 конец аргумента .$

11.  

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объeм и давление связаны соотношением $pV в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка = const,$ где p (атм.)  — давление газа, V  — объeм газа в литрах. Изначально объeм газа равен 1,6 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объeма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.

12.  

В цилиндрический сосуд налили 600 см³ воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,6 раза. Найдите объем детали. Ответ выразите в см³.

13.  

Расстояние между городами А и В равно 790 км. Из города А в город В выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 85 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 450 км от города А. Ответ дайте в км/ч.

14.  

Найдите наименьшее значение функции $y= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x корень из x минус 6x минус 5$ на отрезке [9; 36].

15.  

Дано уравнение $2 косинус 2x плюс 4 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка плюс 1=0.$

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;3 Пи правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

16.  

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами $AB= корень из 5$ и $BC=2.$ Длины боковых ребер пирамиды $SA= корень из 7 ,SB=2 корень из 3 ,SD= корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента .$

а)  Докажите, что SA  — высота пирамиды.

б)  Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

17.  

Решите неравенство $дробь: числитель: 3, знаменатель: левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 1 конец дроби плюс 1\geqslant0.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

18.  

Две окружности касаются внутренним образом в точке А, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и АС пересекают меньшую окружность в точках К и M соответственно.

а)  Докажите, что прямые КМ и BC параллельны.

б)  Пусть L  — точка пересечения отрезков КМ и АР. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC  =  16.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Обосновано получен ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

19.  

15‐го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы:

  — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

  — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

  — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение. Пусть начальная сумма кредита равна S₀, тогда переплата за первый месяц равна $дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби S_0.$ По условию, ежемесячный долг перед банком должен уменьшиться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты, равной S₀/14, и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов, равной

$дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби S_0, дробь: числитель: 13, знаменатель: 14 конец дроби умножить на дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби S_0,..., дробь: числитель: 2, знаменатель: 14 конец дроби умножить на дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби S_0, дробь: числитель: 1, знаменатель: 14 конец дроби умножить на дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби S_0.$

Используя формулу суммы членов арифметической прогрессии, найдём полную переплату по кредиту:

$дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби S_0 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 13, знаменатель: 14 конец дроби плюс ... плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 14 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 14 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби S_0 умножить на дробь: числитель: 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 14 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 14= дробь: числитель: 3r, знаменатель: 40 конец дроби S_0.$

По условию общая сумма выплат на 15% больше суммы, взятой в кредит, тогда:

$0,075rS_0=0,15S_0 равносильно r=2.$

Ответ: 2.

Примечание Дмитрия Гущина.

Укажем общие формулы для решения задач этого типа. Пусть на n платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма S, причём каждый платежный период долг сначала возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Тогда величина переплаты П и полная величина выплат В за всё время выплаты кредита даются формулами

$П = дробь: числитель: r, знаменатель: конец дроби 100 умножить на дробь: числитель: n плюс 1}2 S_0, В = S_0 плюс П = S_0 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: {, знаменатель: r конец дроби левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 200 конец дроби правая круглая скобка .$

В условиях нашей задачи получаем: $дробь: числитель: r левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 200 конец дроби S_0 = 0,15S_0,$ откуда для n  =  14 находим r  =  2.

Доказательство формул (для получения полного балла его нужно приводить на экзамене) немедленно следует из вышеприведённого решения задачи путём замены 14 месяцев на n месяцев и использовании формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

20.  

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15=4|2x минус y минус 10|,x плюс 2y=a конец системы .$

имеет более двух решений.

Решение. Преобразуем первое уравнение системы:

$x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15=4|2x минус y минус 10| равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15=4 левая круглая скобка 2x минус y минус 10 правая круглая скобка ,2x минус y минус 10 больше или равно 0, конец системы . система выражений x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15= минус 4 левая круглая скобка 2x минус y минус 10 правая круглая скобка ,2x минус y минус 10 меньше 0 конец системы . конец совокупности . равносильно$ $x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15=4|2x минус y минус 10| равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15=4 левая круглая скобка 2x минус y минус 10 правая круглая скобка ,2x минус y минус 10 больше или равно 0, конец системы . система выражений x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15= минус 4 левая круглая скобка 2x минус y минус 10 правая круглая скобка ,2x минус y минус 10 меньше 0 конец системы . конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате минус 16x плюс y в квадрате плюс 8y плюс 55=0, y меньше или равно 2x минус 10, конец системы . система выражений x в квадрате плюс y в квадрате =25,y больше 2x минус 10 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка в квадрате =25, y меньше или равно 2x минус 10, конец системы . система выражений x в квадрате плюс y в квадрате =25,y больше 2x минус 10. конец системы . конец совокупности .$

Тем самым, первое уравнение задаёт объединение дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ окружностей радиуса $5$ с центрами в точках $O_1 левая круглая скобка 8; минус 4 правая круглая скобка$ и $O_2 левая круглая скобка 0;0 правая круглая скобка ,$ лежащих ниже и выше прямой $y=2x минус 10$ соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках $A левая круглая скобка 5;0 правая круглая скобка$ и $B левая круглая скобка 3; минус 4 правая круглая скобка .$ Заметим, что точка касания $C левая круглая скобка корень из 5 ;2 корень из 5 правая круглая скобка$ лежит на дуге $\omega_2$ и прямая $O_2C$ перпендикулярна прямой $O_1O_2,$ поскольку произведение угловых коэффициентов данных прямых равно −1.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой $O_1O_2$ или совпадающую с ней.

При $a=5$ прямая m пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.

Аналогично, при $a= минус 5$ прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения.

При $a = 5 корень из 5$ прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг $\omega_1$ и $\omega_2,$ то есть исходная система имеет два решения.

Аналогично, при $a= минус 5 корень из 5$ прямая m касается дуг $\omega_1$ и $\omega_2,$ то есть исходная система имеет два решения.

При $минус 5 корень из 5 меньше a меньше минус 5$ или $5 меньше a меньше 5 корень из 5$ прямая m пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в двух точках, отличных от точек A и B, то есть исходная система имеет четыре решения.

При $минус 5 меньше a меньше 5$ прямая m пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в точке, отличной от точек A и B, то есть исходная система имеет два решения.

При $a меньше минус 5 корень из 5$ или $a больше 5 корень из 5$ прямая m не пересекает дуги $\omega_1$ и $\omega_2,$ то есть исходная система не имеет решений.

Значит, исходная система имеет более двух решений при $минус 5 корень из 5 меньше a\leqslant минус 5$ или $5 меньше или равно a меньше 5 корень из 5 .$

Ответ: $минус 5 корень из 5 меньше a\leqslant минус 5;5 меньше или равно a меньше 5 корень из 5 .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек a = −5 и/или a = 5.	3
При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля.	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически или графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

21.  

Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 63 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 4 балла, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.

а)  Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?

б)  Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?

в)  Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 70, средний балл участников, сдавших тест, составил 80, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 55. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 82, а не сдавших тест  — 58. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

Решение. а)  Пусть было три ученика, которые набрали 90, 61 и 3 балла. Средний балл учеников не сдавших тест $дробь: числитель: 61 плюс 3, знаменатель: 2 конец дроби =32$ балла. после добавления баллов участников оказалось 94, 65 и 7 баллов. Средний балл участников, не сдавших тест, составил 7 баллов.

б)  В примере предыдущего пункта средний балл, сдавших тест, первоначально составлял 90 баллов, а после добавления баллов составил $дробь: числитель: 94 плюс 65, знаменатель: 2 конец дроби =79,5$ баллов.

в)  Пусть всего было N участников теста, сдали тест a участников, после добавления баллов сдали b участников. Заметим, что средний балл после добавления составил 74 балла. имеем два уравнения: $70N=55 левая круглая скобка N минус a правая круглая скобка плюс 80a,$ $74N=58 левая круглая скобка N минус b правая круглая скобка плюс 82b,$ откуда $15N=25a,$ то есть $3N=5a,$ и $16N = 24b,$ то есть $2N=3b.$ Поэтому целое число N делится на 5 и на 3, то есть делится на 15. Таким образом, N ≥ 15.

Покажем, что N могло равняться 15: пусть изначально 5 участников набрали по 54 балла, один ученик  — 60 баллов и 9 учеников по 80 баллов. Тогда средний балл был был равен 70, средний балл учеников, сдавших тест, был равен 80, а средний балл учеников, не сдавших тест, был равен 55. После добавления средний балл учеников, сдавших тест, стал равен 82, а не сдавших тест  — 58. Таким образом, все условия выполнены.

Ответ: а) да; б) да; в) 15.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	509983	8
2	509984	8
3	509985	541800
4	509986	7,5
5	509987	0,15
6	509988	-1,5
7	509989	21
8	509990	1
9	509991	15
10	509992	-3
11	509993	0,05
12	509994	360
13	509995	75
14	509996	-77
15	509976	а) $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи kk принадлежит Z ;$ б) $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби , дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$
16	509977	30.
17	509979	б) $корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$
18	509980	2.
19	509982	а) да; б) да; в) 15.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

ЕГЭ — 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант Ларина.

Ключ

ЕГЭ — 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант Ларина.