Две окружности касаются внутренним образом в точке А, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и АС пересекают меньшую окружность в точках К и M соответственно.
а) Докажите, что прямые КМ и BC параллельны.
б) Пусть L — точка пересечения отрезков КМ и АР. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
а) Пусть O — центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому OA — диаметр меньшей окружности.
Точка K лежит на окружности с диаметром OA, значит, ∠AKO = 90°. Отрезок OK — перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду AB. Поэтому K — середина AB. Аналогично, M — середина AC, поэтому KM — средняя линия треугольника ABC. Следовательно. прямые MK и BC параллельны.
б) Отпустим перпендикуляр OH на хорду BC. Тогда H — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что
Пусть Q — центр меньшей окружности. Тогда прямые QP и OH параллельны. Опустим перпендикуляр QF из центра меньшей окружности на OH. Тогда
OF = OH − FH = OH − QP = 6 − 5 = 1,
PH2 = QF2 = QO2 − OF2 = 25 − 1 =24,
OP2 = OH2 + PH2 = 36 + 24 = 60,
а из прямоугольного треугольника APO находим, что
Отрезок KM — средняя линия треугольника ABC, поэтому L средина AP. Следовательно,
Ответ: б) 
----------
Дублирует задание 510102.