а)  Пусть было три уче­ни­ка, ко­то­рые на­бра­ли 90, 61 и 3 балла. Сред­ний балл уче­ни­ков не сдав­ших тест балла. после до­бав­ле­ния бал­лов участ­ни­ков ока­за­лось 94, 65 и 7 бал­лов. Сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, со­ста­вил 7 бал­лов.

б)  В при­ме­ре преды­ду­ще­го пунк­та сред­ний балл, сдав­ших тест, пер­во­на­чаль­но со­став­лял 90 бал­лов, а после до­бав­ле­ния бал­лов со­ста­вил бал­лов.

в)  Пусть всего было N участ­ни­ков теста, сдали тест a участ­ни­ков, после до­бав­ле­ния бал­лов сдали b участ­ни­ков. За­ме­тим, что сред­ний балл после до­бав­ле­ния со­ста­вил 74 балла. имеем два урав­не­ния: от­ку­да то есть и то есть По­это­му целое число N де­лит­ся на 5 и на 3, то есть де­лит­ся на 15. Таким об­ра­зом, N ≥ 15.

По­ка­жем, что N могло рав­нять­ся 15: пусть из­на­чаль­но 5 участ­ни­ков на­бра­ли по 54 балла, один уче­ник  — 60 бал­лов и 9 уче­ни­ков по 80 бал­лов. Тогда сред­ний балл был был равен 70, сред­ний балл уче­ни­ков, сдав­ших тест, был равен 80, а сред­ний балл уче­ни­ков, не сдав­ших тест, был равен 55. После до­бав­ле­ния сред­ний балл уче­ни­ков, сдав­ших тест, стал равен 82, а не сдав­ших тест  — 58. Таким об­ра­зом, все усло­вия вы­пол­не­ны.

Ответ: а) да; б) да; в) 15.