СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 509982

Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 63 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 4 балла, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.

а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?

б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?

в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 70, средний балл участников, сдавших тест, составил 80, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 55. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 82, а не сдавших тест — 58. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

Решение.

а) Пусть было три ученика, которые набрали 90, 61 и 3 балла. Средний балл учеников не сдавших тест балла. после добавления баллов участников оказалось 94, 65 и 7 баллов. Средний балл участников, не сдавших тест, составил 7 баллов.

б) В примере предыдущего пункта средний балл, сдавших тест, первоначально составлял 90 баллов, а после добавления баллов составил баллов.

в) Пусть всего было N участников теста, сдали тест a участников, после добавления баллов сдали b участников. Заметим, что средний балл после добавления составил 74 балла. имеем два уравнения: откуда то есть и то есть Поэтому целое число N делится на 5 и на 3, то есть делится на 15. Таким образом, N ≥ 15.

Покажем, что N могло равняться 15: пусть изначально 5 участников набрали по 54 балла, один ученик — 60 баллов и 9 учеников по 80 баллов. Тогда средний балл был был равен 70, средний балл учеников, сдавших тест, был равен 80, а средний балл учеников, не сдавших тест, был равен 55. После добавления средний балл учеников, сдавших тест, стал равен 82, а не сдавших тест — 58. Таким образом, все условия выполнены.

 

Ответ: а) да; б) да; в) 15.


Аналоги к заданию № 509974: 509953 509982 Все

Источник: ЕГЭ — 2015. Ос­нов­ная волна по ма­те­ма­ти­ке 04.06.2015. Ва­ри­ант Ларина.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки, Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки