PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?
Решение. Выразим площадь двумя способами:
Тогда 
Ответ: 6.
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.
Решение. Из формул для объема конуса и шара получаем:
Ответ: 24.
Фабрика выпускает сумки. В среднем 8 сумок из 100 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.
Решение. В среднем без дефектов выпускают 92 сумки из каждых 100, поэтому искомая вероятность равна 0,92.
Ответ: 0,92.
Ранее это задание было сформулировано следующим образом.
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Решение.
По условию из любых 100 + 8 = 108 сумок в среднем 100 качественных сумок. Значит, вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна
Ответ: 0,93.
----------
2014: Задание изъято из Открытого банка заданий.
2015: Задание возвращено в Открытый банк заданий.
2016: Изменена формулировка задания.
В коробке 8 синих, 6 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?
Решение. Возможны два случая: сначала выбрали синий фломастер, потом красный, или сначала выбрали красный фломастер, потом синий. Эти события несовместны, поэтому искомая вероятность равна:
Ответ: 0,16.
Приведём другое решение.
Всего в коробке 25 фломастеров. Вынуть синий фломастер можно восемью способами, вынуть красный фломастер можно шестью способами. Поэтому искомая вероятность равна
Найдите корень уравнения 
Решение. Перейдем к одному основанию степени:
Ответ: 10.
Найдите значение выражения 
Решение. Выполним преобразования:
Ответ: 6.
На рисунке изображен график производной функции 
определенной на интервале 
Найдите количество точек минимума функции 
на отрезке 
Решение. Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. На отрезке 
функция имеет одну точку минимума 
Ответ: 1.
К источнику с ЭДС 
В
Ом,
При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 50 В? Ответ выразите в омах.
Решение. Задача сводится к решению неравенства 
В при известных значениях внутреннего сопротивления 
Ом,
В:
Ом.
Ответ: 5.
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в A со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.
Решение. Пусть 
км/ч
км/ч.
Таким образом, скорость велосипедиста была равна 10 км/ч.
Ответ: 10.
На рисунке изображены графики функций
и 
которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A.
Решение. По графику, f(4) = 1, тогда 
Тогда уравнение функции имеет вид 
Заметим, что k — тангенс угла наклона прямой. Тогда 
По графику, g(4) = −1, значит, 
Тогда уравнение прямой имеет вид 
Теперь найдём абсциссу точки A:
Таким образом, 
Ответ: 0,5625.
Найдите точку максимума функции 
Решение. Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Искомая точка максимума 
Ответ: 9.
a) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Преобразуем уравнение:
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку 
с помощью тригонометрической окружности. Получаем числа: 
Ответ: а) 
б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) Дана прямая призма, в основании которой лежит равнобедренная трапеция с основаниями AD = 5 и BC = 4. Точка M делит ребро A1D1 в отношении 
точка K — середина ребра DD1.
a) Доказать, что плоскость MCK параллельна прямой BD.
б) Найти тангенс угла между плоскостью MKC и плоскостью основания, если 
a 
Решение. а) Пусть точка M1 делит ребро AD в отношении
тогда
BC = M1D = MD1 = B1C1 = 4
и многогранник M1BCDMB1C1D1 — параллелепипед. Пусть плоскость MCK пересекает ребро BB1 в некоторой точке P. Противоположные грани параллелепипеда параллельны, поэтому параллельны прямые KM и CP, по которым эти грани пересечены плоскостью сечения. Отрезки KM и CP равны как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, и MKCP — параллелограмм. Следовательно, прямоугольные треугольники CPB и MKD1 равны по катету и гипотенузе: BC = MD1 и CP = MK. Тогда
а значит, точка P — середина ребра BB1. Отрезки BP и KD равны и параллельны, тогда BPKD — параллелограмм, и, значит, прямая PK параллельна прямой BD. Прямая PK лежит в плоскости MKC, а прямая BD не лежит в этой плоскости, тогда по признаку параллельности прямой и плоскости плоскость MKC параллельна прямой BD — что и требовалось доказать.
б) Заметим, что MKCP — параллелограмм с прямым углом, следовательно, MKCP — прямоугольник. Угол между плоскостью MKC и плоскостью ABCD будем искать с помощью площади проекции. Проекция прямоугольника MKCP на плоскость 
это параллелограмм 
Пусть D1K = x, KD = x. По теореме Пифагора:
тогда
Если 
то треугольник B1A1M — равносторонний, A1B1 = C1D1 = CD = A1M = 1. Найдем длину BD:
Найдем значение x:
Тогда 
Площадь MKCP равна, таким образом, 
Площадь 
равна 
Найдем косинус угла между плоскостью MKC и плоскостью основания:
Тогда 
а 
Ответ: 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке B, как показано на рисунке. Опустим перпендикуляры 
BH1 и CH на сторону AD. Пусть BH1 = h и CC1 = a. Во введенной системе координат имеем:
Подставим координаты точек плоскости MCK в уравнение 
получим:
Из первого уравнения системы находим
Вычтем из третьего уравнения системы второе и выразим С:
Получаем уравнение плоскости MCK:
Скалярное произведение векторов 
и 
равно
Таким образом, векторы и перпендикулярны, значит, прямая BD параллельна плоскости MCK.
б) В уравнении плоскости ABC координата z равна нулю. Следовательно, нормаль к этой плоскости имеет координаты 
Далее находим:
Пусть DK = x, KD1 = x. Отрезки CK и MK перпендикулярны. Отрезок HK — проекция CH на плоскость AMD, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах отрезок HK перпендикулярен отрезку MK.
Пусть 
тогда 
Выразим угол HKD:
Поскольку
треугольники MD1K и HDK подобны по двум углам. Имеем:
Находим уравнение плоскости MCK:
получим:
Следовательно, вектор нормали к плоскости MCK равен 
Пусть α — угол между плоскостью MKC и плоскостью основания. Угол между плоскостями равен углу между нормалями этих плоскостей. Имеем:
Воспользуемся следствием из основного тригонометрического тождества и выразим тангенс угла α, получим:
откуда 
то есть 
Поскольку угол острый, 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Решите неравенство 
Решение. Преобразуем неравенство:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 700 тыс. руб. на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого из годов 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;
— в июле каждого из годов 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;
— к июлю 2035 года кредит должен быть выплачен.
Известно, что сумма выплат по кредиту составит 1420 тыс. руб. Найдите, сколько рублей составит выплата в 2026 году.
Решение. Обозначим для удобства изначальную сумму кредита за S = 700 тыс. руб. Пусть x тыс. руб. — постоянная сумма на которую уменьшается долг каждый июль с 2026 по 2030 год, а y тыс. руб. — с 2031 по 2035 года. Тогда суммы долга в июле по годам с 2025 по 2035 составят:
Из последнего равенства следует, что x + y = 140, откуда y = 140 – x.
Пусть k = 0,2, тогда проценты начисленные с 2026 по 2035 год составят:
kS, 
а выплаты в соответствующие годы будут:
Тогда сумма выплат является суммой двух различных арифметических прогрессий по пять членов в каждой и составит:
Тогда выплата за 2026 год составит: kS + x = 220 тыс. руб.
Ответ: 220 тыс. руб.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Треугольник ABC равносторонний. На стороне AC выбрана точка M, серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает сторону AB в точке E, а сторону BC в точке K.
а) Доказать что угол AEM равен углу CMK.
б) Найти отношение площадей треугольников AEM и CMK, если 
Решение. а) Угол ABC равен 60°. Из симметрии относительно EK получаем, что угол EMK равен 60°. Пусть угол AEM равен α. Тогда
Выразим угол CMK:
б) Пусть AM = x, CM = 4x, AE = y, тогда AB = 5x, EM = EB = 5x − y. По теореме косинусов:
Треугольники AEM и CMK подобны по двум углам, причем AE и CM — соответственные стороны. Имеем:
Ответ: 4 : 9.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно 2 различных решения.
Решение. Решим задачу графически. Определим, при каких значениях параметра графики Г1 и Г2 первого и второго уравнения соответственно имеют ровно две общие точки. Первое уравнение равносильно совокупности
Уравнение 
задает прямую 
Система
расположенную не выше прямой Абсциссы точек пересечения прямой 
и параболы 
найдем из уравнения
Ординаты точек пересечения y(0) = 8 и y(8) = 16. Координаты вершины параболы: xв = 3,5, yв = −4,25. График Г1 изображен на рисунке цветом охры.
Уравнение 
задает семейство прямых, проходящих через точку (−1; 0). Если a = 1, то прямая параллельна прямой Выясним, при каких значениях параметра прямая является касательной к параболе 
В этом случае должно иметь единственное решение уравнение
а потому дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю. Имеем:
Точка касания имеет абсциссу 
При a = −1 находим: x = 3, соответствующая прямая изображена красным цветом. При a = −17 абсцисса точка касания x = −5 < 0, то есть точка касания не лежит на графике Г1.
Из построения находим следующее.
При 
графики Г1 и Г2 пересекаются лишь в одной точке, лежащей во второй четверти на прямой
При 
(прямая изображена на графике красным цветом) имеются ровно две точки пересечения: одна лежит во второй четверти на прямой 
вторая лежит в четвертой четверти и является точкой касания с параболой.
При 
(прямая изображена лиловым) графики Г1 и Г2 пересекаются ровно в двух точках, обе из которых принадлежат параболе.
При 
графики имеют три точки пересечений, две из которых лежат на параболе, а третья лежит на прямой и расположена в первой четверти так, что ее абсцисса больше 8.
При 
(случай 
изображен зеленым) графики Г1 и Г2 пересекаются ровно в двух точках, одна из которых лежит на параболе, а вторая лежит на прямой и расположена в первой четверти так, что ее абсцисса лежит на отрезке [0; 8].
При 
у графиков Г1 и Г2 имеется лишь одна общая точка, она лежит во второй четверти на прямой
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
В игре число a = 4 и число b = 5, за ход можно сделать 
или 
(новые числа а и b всегда положительные).
а) Можно ли получить число 200 за 100 ходов?
б) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить сумму равную 300.
в) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить максимальную сумму, при этом ни одно число не превышает 200.
Решение. Поскольку 
с каждым ходом сумма чисел будет возрастать на 1.
а) После 100 ходов сумма станет 
значит, второе число пары не будет натуральным. Это запрещено.
б) Понадобится 
ход.
в) Заметим, что разность между числами за один ход всегда меняется на 3. Была равна A − B, а станет равна
или 
Изначально эта разность равна 
и не кратна трем, поэтому она никогда не станет равна нулю. Значит, сделать числа 200 и 200 не получится.
Поэтому сумма двух этих чисел будет не больше 
и будет сделано не более 
ходов.
увеличивающую оба числа на 1, если наибольшее не превосходило 199.
Ответ: а) нет; б) 291; в) 390.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |