Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Тре­уголь­ник ABC рав­но­сто­рон­ний. На сто­ро­не AC вы­бра­на точка M, се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к от­рез­ку BM пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке E, а сто­ро­ну BC в точке K.

а)  До­ка­зать что угол AEM равен углу CMK.

б)  Найти от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AEM и CMK, если AM : C M = 1 : 4.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Угол ABC равен 60°. Из сим­мет­рии от­но­си­тель­но EK по­лу­ча­ем, что угол EMK равен 60°. Пусть угол AEM равен α. Тогда \angle AME = 180 гра­ду­сов минус 60 гра­ду­сов минус альфа = 120 гра­ду­сов минус альфа . Вы­ра­зим угол CMK:

\angle CMK = 180 гра­ду­сов минус \angle AME минус \angleEMK = 180 гра­ду­сов минус левая круг­лая скоб­ка 120 гра­ду­сов минус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка минус 60 гра­ду­сов = альфа = \angle AEM.

б)  Пусть AM  =  x, CM  =  4x, AE  =  y, тогда AB  =  5x, EM  =  EB  =  5x − y. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

левая круг­лая скоб­ка 5x минус y пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те минус 2 умно­жить на x умно­жить на y умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но 25x в квад­ра­те минус 10xy плюс y в квад­ра­те минус xy рав­но­силь­но 24x в квад­ра­те = 9xy рав­но­силь­но y = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x.

Тре­уголь­ни­ки AEM и CMK по­доб­ны по двум углам, при­чем AE и CM  — со­от­вет­ствен­ные сто­ро­ны. Имеем:

дробь: чис­ли­тель: S_AEM, зна­ме­на­тель: S_CKM конец дроби = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: AE, зна­ме­на­тель: CM конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: 4x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x, зна­ме­на­тель: 4x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

Ответ: 4 : 9.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 642892: 642736 673047 Все

Источники:
Методы геометрии: Сим­мет­рия в ре­ше­ни­ях, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, По­до­бие, От­но­ше­ние длин, пло­ща­дей, объ­е­мов по­доб­ных фигур
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025