Чему равен тупой впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на хорду, рав­ную ра­ди­у­су окруж­но­сти? Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ра­ди­у­сы трех шаров равны 6, 8 и 10. Най­ди­те ра­ди­ус шара, объем ко­то­ро­го равен сумме их объ­е­мов.

На та­рел­ке 16 пи­рож­ков: 7 с рыбой, 5 с ва­ре­ньем и 4 с виш­ней. Юля на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он ока­жет­ся с виш­ней.

Перед на­ча­лом во­лей­боль­но­го матча ка­пи­та­ны ко­манд тянут чест­ный жре­бий, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Ста­тор» по оче­ре­ди иг­ра­ет с ко­ман­да­ми «Ротор», «Мотор» и «Стар­тер». Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что «Ста­тор» будет на­чи­нать толь­ко первую и по­след­нюю игры.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции Най­ди­те абс­цис­су точки, в ко­то­рой ка­са­тель­ная к гра­фи­ку па­рал­лель­на пря­мой или сов­па­да­ет с ней.

Ёмкость вы­со­ко­вольт­но­го кон­ден­са­то­ра в те­ле­ви­зо­ре Ф. Па­рал­лель­но с кон­ден­са­то­ром под­ключeн ре­зи­стор с со­про­тив­ле­ни­ем Ом. Во время ра­бо­ты те­ле­ви­зо­ра на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре кВ. После вы­клю­че­ния те­ле­ви­зо­ра на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре убы­ва­ет до зна­че­ния U (кВ) за время, опре­де­ля­е­мое вы­ра­же­ни­ем (с), где − по­сто­ян­ная. Опре­де­ли­те на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре, если после вы­клю­че­ния те­ле­ви­зо­ра про­шла 21 с. Ответ дайте в ки­ло­воль­тах.

Из пунк­та A кру­го­вой трас­сы вы­ехал ве­ло­си­пе­дист. Через 30 минут он еще не вер­нул­ся в пункт А и из пунк­та А сле­дом за ним от­пра­вил­ся мо­то­цик­лист. Через 10 минут после от­прав­ле­ния он до­гнал ве­ло­си­пе­ди­ста в пер­вый раз, а еще через 30 минут после этого до­гнал его во вто­рой раз. Най­ди­те ско­рость мо­то­цик­ли­ста, если длина трас­сы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те абс­цис­су точки B.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те ре­ше­ния урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Пря­мо­уголь­ник ABCD и ци­линдр рас­по­ло­же­ны таким об­ра­зом, что AB  — диа­метр верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра, а CD лежит в плос­ко­сти ниж­не­го ос­но­ва­ния и ка­са­ет­ся его окруж­но­сти, при этом плос­кость пря­мо­уголь­ни­ка на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния ци­лин­дра под углом 60°.

а)  До­ка­жи­те, что ABCD  — квад­рат.

б)  Най­ди­те длину той части от­рез­ка BD, ко­то­рая на­хо­дит­ся сна­ру­жи ци­лин­дра, если ра­ди­ус ци­лин­дра равен

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

При рытье ко­лод­ца глу­би­ной свыше 10 м за пер­вый метр за­пла­ти­ли 1000 руб., а за каж­дый сле­ду­ю­щий на 500 руб. боль­ше, чем за преды­ду­щий. Сверх того за весь ко­ло­дец до­пол­ни­тель­но было упла­че­но 10 000 руб. Сред­няя сто­и­мость 1 м ока­за­лась рав­ной 6250 руб. Опре­де­ли­те глу­би­ну ко­лод­ца.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на вы­со­та CH из вер­ши­ны пря­мо­го угла C. В тре­уголь­ни­ки ACH и BCH впи­са­ны окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁ и O₂ со­от­вет­ствен­но, ка­са­ю­щи­е­ся пря­мой CH в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AO₁ и CO₂ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка MO₁NO₂, если AC  =  20 и BC  =  15.

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a для любых зна­че­ний па­ра­мет­ра b хотя бы при одном зна­че­нии па­ра­мет­ра с си­сте­ма урав­не­ний

имеет ре­ше­ния?

Каж­дое из чисел a₁, a₂, …, a₃₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обо­зна­чим

Из­вест­но, что S₁  =  513.

а)  Най­ди­те S₄, если еще из­вест­но, что S₂  =  1097 и S₃  =  3243.

б)  Может ли S₄  =  4547?

в)  Пусть S₄  =  4745. Най­ди­те все зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать S₂.