PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.
Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
На тарелке 16 пирожков: 7
Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображен график производной функции
Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику 
параллельна прямой 
или совпадает с ней.
Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре 
Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением 
Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе 
кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением 
(с), где 
− постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошла 21 с. Ответ дайте в киловольтах.
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через
На рисунке изображены графики функций
и 
которые пересекаются в точках
Найдите точку максимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Найдите решения уравнения, принадлежащие отрезку 
Прямоугольник ABCD и цилиндр расположены таким образом, что AB — диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности, при этом плоскость прямоугольника наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.
а) Докажите, что ABCD — квадрат.
б) Найдите длину той части отрезка BD, которая находится снаружи цилиндра, если радиус цилиндра равен 
Решите неравенство: 
При рытье колодца глубиной свыше 10 м за первый метр заплатили 1000 руб., а за каждый следующий на 500 руб. больше, чем за предыдущий. Сверх того за весь колодец дополнительно было уплачено 10 000 руб. Средняя стоимость 1 м оказалась равной 6250 руб. Определите глубину колодца.
В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла C. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами O1 и O2 соответственно, касающиеся прямой CH в точках
а) Докажите, что прямые AO1 и CO2 перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника MO1NO2, если AC = 20 и BC = 15.
При каких значениях параметра a для любых значений параметра b хотя бы при одном значении параметра с система уравнений
имеет решения?
Каждое из чисел a1, a2, …, a350 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим
Известно, что S1 = 513.
а) Найдите S4, если еще известно, что S2 = 1097 и S3 = 3243.
б) Может ли S4 = 4547?
в) Пусть S4 = 4745. Найдите все значения, которые может принимать S2.
Поэтому cумма объёмов трёх шаров равна 
Осталось найти, при каких x производная принимает значение 2. Искомая точка 
при заданных значениях начального напряжения на конденсаторе 
кВ,
Ом и ёмкости конденсатора 
Ф:
Значит, 
По графику g(2) = 1, тогда 
Значит, 
а значит,
Получаем 
или 
Тогда: 
и поэтому, 
получаем:
верно только для неположительных значений a. Поэтому 
откуда
лежат только решения 
б) 
поэтому 
значит, ABCD — квадрат.
Поскольку 
как угол, опирающийся на диаметр, 
т. е. 
либо равно нулю при 
при этом неравенство верно; либо положительно, и тогда на него можно разделить, не меняя знака неравенства. Имеем:
получаем ответ: 
Она (сумма) будет равна
то есть прямые AO1 и CO2 перпендикулярны.
и 
— квадраты, получаем: 
Значит, площадь четырёхугольника 
равна
Из подобия находим отношение радиусов:
находим:
Четырехугольник MO1NO2 — трапеция, ее площадь равна
система имеет единственное решение 
если умножить второе уравнение на b и из полученного уравнения вычесть первое уравнение системы, получим 
имеет единственное решение при любом 
Если 
или 
то уравнение принимает вид 
и 
соответственно. Исходная система будет иметь решения если существуют a и c, удовлетворяющие полученным соотношениям. При 
они не выполняются ни при каких значениях параметров. При 
рассмотрим их как квадратные уравнения относительно параметра с. Дискриминанты уравнений должны быть неотрицательны: 
и 
Решая неравенства, находим 
и 
Система должна иметь решения для любых значений b, поэтому найденные множества значений параметра а следует пересечь, получаем: 
и 
После преобразований получим: 
и 
Прямые не имеют общих точек тогда и только тогда, когда выполняются условия: 
и 
Находим: 
и 
Из первого уравнения находим 
Подставляя во второе соотношение, получим квадратные уравнения относительно с: 
и 
Они не имеют корней, если а = 0 или если их дискриминанты отрицательны. Из условий 
и 
получаем 
При найденных значениях а система не имеет решений. При прочих — имеет.
и 
и решая систему линейных, находим: m1 = 282, m2 = 7, m3 = 27, m4 = 34. Значит,
где 
то 
В последнем равенстве левая часть кратна 5, а правая — нет, поэтому S4 не может быть равным 4547. 
где 
Кроме того, поскольку 
