PDF-версии: 
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD проведена высота SH. K — середина ребра SD, N — середина ребра CD. Плоскость ABK пересекает ребро SC в точке P.
а) Докажите, что прямая PK делит отрезок NS пополам.
б) Найдите расстояние от точки P до плоскости ABS, если SH = 15, CD = 16.
Решение. а) Поскольку ABCD — квадрат, то 
а значит, прямая CD параллельна плоскости ABK и поэтому CD не имеет общих точек с прямой PK, лежащей в плоскости сечения. Так как PK и CD не имеют общих точек и лежат в плоскости SCD, они параллельны.
В треугольнике SND прямая PK проходит через середину SD параллельно ND, то есть содержит среднюю линию треугольника, а значит, пересекает SN в её середине. Это и требовалось доказать.
б) Из того, что 
и 
следует, прямая PK параллельна прямой AB, а следовательно, и всей плоскости ABS. Значит, расстояние от любой точки прямой PK до плоскости ABS будет одинаковым. Найдём это расстояние от точки пересечения PK и SN — точки E.
Так как ABCD — квадрат, его диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому треугольник CHD прямоугольный и равнобедренный, а медиана HN перпендикулярна CD. Через точки S, N и H проведём плоскость, которая пересекает ребро AB в точке L. Поскольку LN содержит HN, то 
и 
откуда следует, что четырехугольник ADNL — прямоугольник и 
то есть L — середина AB.
Так как отрезок SL — медиана в равнобедренном треугольнике SAB с основанием AB, то 
Поскольку прямая AB перпендикулярна пересекающимся прямым LN и SL, она перпендикулярна плоскости SNL, а раз AB лежит в плоскости ABS, плоскости ABS и SNL перпендикулярны. Тогда перпендикуляры NT и EF к плоскости ABS из точек N и E плоскости SNL попадут на прямую их пересечения SL.
Прямоугольные треугольники SAL и SDN равны по гипотенузе (
) и катету (
), поэтому другие катеты SN и SL также равны. Рассмотрим равнобедренный треугольник SNL, в котором 
основание 
а высота и медиана к нему 
По теореме Пифагора для треугольника LHS найдём
Теперь найдём высоту NT треугольника SNL, для чего выразим его площадь двумя способами: 
откуда 
поэтому 
В прямоугольном треугольнике SNT с прямым углом T отрезок EF перпендикулярен ST и проходит через середину SN, а значит, является средней линией треугольника SNT, поэтому 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
следует, прямая PK параллельна прямой AB, а следовательно, и всей плоскости ABS. Значит, расстояние от любой точки прямой PK до плоскости ABS будет одинаковым. Найдём это расстояние от точки пересечения PK и SN — точки E.
а высота и медиана к нему 
По теореме Пифагора для треугольника LHS найдём
поэтому 
В прямоугольном треугольнике SNT с прямым углом T отрезок EF перпендикулярен ST и проходит через середину SN, а значит, является средней линией треугольника SNT, поэтому 
как 3 : 4.
Это и требовалось доказать.
Поэтому объем пирамиды KBQPC относится к объему пирамиды ABCS как 
Отсюда получаем, что искомый объем равен 
Следовательно, 
По теореме косинусов для треугольника ANR: 
по доказанному ранее, 
= 10, тогда по теореме Пифагора SO = 24. Далее, так как O — середина AB, а OK || BC (как перпендикуляры к AC), то OK — средняя линия треугольника ABC, откуда 
Далее, по теореме Пифагора, 
а значит, 
по доказанному ранее, 
= 15. Тогда по теореме Пифагора 
Наконец, 
а 
Далее, пусть L — точка пересечения прямой DE и плоскости ABC. Тогда отрезки AL и A1E параллельны, следовательно, 
по теореме о средней линии треугольника. 
поэтому угол 
прямой, следовательно, прямая AB перпендикулярна плоскости ADE, поэтому расстояние между прямыми DE и AB равно расстоянию от точки A до прямой DE, то есть высоте AF прямоугольного треугольника с катетами AD = 2 и 
Далее вычислим расстояние между прямыми AB и DE:
Далее, пусть L — точка пересечения прямой DE и плоскости ABC. Тогда отрезки AL и A1E параллельны, следовательно, 
по теореме о средней линии треугольника. Прямая AB перпендикулярна плоскости ADE, поэтому расстояние между прямыми DE и AB равно расстоянию от точки A до прямой DE, то есть высоте AF прямоугольного треугольника с катетами AD = 2 и 
Далее вычислим расстояние между прямыми AB и DE:
следовательно, E — точка пересечения медиан, а BE также медиана, G — середина SD.
