Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 563560

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AD = 14, высота SH = 24. Точка P  — середина бокового ребра SD, а точка N  — середина ребра CD. Плоскость ABP пересекает боковое ребро SC в точке K.

а)  Докажите, что прямая KP пересекает отрезок SN в его середине.

б)  Найдите расстояние от точки K до плоскости ABS.

Спрятать решение

Решение.

а)  Поскольку ABCD  — квадрат, то AB\parallel CD, а значит, прямая CD параллельна плоскости ABP и поэтому CD не имеет общих точек с прямой PK, лежащей в плоскости сечения. Так как PK и CD не имеют общих точек и лежат в плоскости SCD, они параллельны.

В треугольнике SND прямая PK проходит через середину SD параллельно ND, то есть содержит среднюю линию треугольника, а значит, пересекает SN в её середине. Это и требовалось доказать.

б)  Из того, что PK\parallel CD и CD\parallel AB следует, прямая PK параллельна прямой AB, а следовательно, и всей плоскости ABS. Значит, расстояние от любой точки прямой PK до плоскости ABS будет одинаковым. Найдём это расстояние от точки пересечения PK и SN  — точки E.

Так как ABCD  — квадрат, его диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому треугольник CHD прямоугольный и равнобедренный, а медиана HN перпендикулярна CD. Через точки S, N и H проведём плоскость, которая пересекает ребро AB в точке L. Поскольку LN содержит HN, то LN\perp CD и LN\perp AB, откуда следует, что четырехугольник ADNL  — прямоугольник и LA=ND=\dfrac12CD, то есть L  — середина AB.

Так как отрезок SL  — медиана в равнобедренном треугольнике SAB с основанием AB, то SL\perp AB. Поскольку прямая AB перпендикулярна пересекающимся прямым LN и SL, она перпендикулярна плоскости SNL, а раз AB лежит в плоскости ABS, плоскости ABS и SNL перпендикулярны. Тогда перпендикуляры NT и EF к плоскости ABS из точек N и E плоскости SNL попадут на прямую их пересечения SL.

Прямоугольные треугольники SAL и SDN равны по гипотенузе (SA=SD) и катету (LA=ND), поэтому другие катеты SN и SL также равны. Рассмотрим равнобедренный треугольник SNL, в котором SN=SL, основание NL=AD=14, а высота и медиана к нему SH=24. По теореме Пифагора для треугольника LHS найдём

SL= корень из 7 в квадрате плюс 24 в квадрате = корень из 49 плюс 576= корень из 625=25.

Теперь найдём высоту NT треугольника SNL, для чего выразим его площадь двумя способами:  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби SH умножить на NL= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби NT умножить на SL, откуда 24 умножить на 14=NT умножить на 25, поэтому NT= дробь: числитель: 336, знаменатель: 25 конец дроби . В прямоугольном треугольнике SNT с прямым углом T отрезок EF перпендикулярен ST и проходит через середину SN, а значит, является средней линией треугольника SNT, поэтому EF= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби NT= дробь: числитель: 168, знаменатель: 25 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 168, знаменатель: 25 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 563560: 563548 Все

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург, ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Вологодская область, Задания 14 ЕГЭ–2021
Методы геометрии: Метод площадей