Павел Ива­но­вич купил аме­ри­кан­ский ав­то­мо­биль, спи­до­метр ко­то­ро­го по­ка­зы­ва­ет ско­рость в милях в час. Ка­ко­ва ско­рость ав­то­мо­би­ля в ки­ло­мет­рах в час, если спи­до­метр по­ка­зы­ва­ет 65 миль в час? Счи­тай­те, что 1 миля равна 1609 м. Ответ округ­ли­те до це­ло­го числа.

На диа­грам­ме по­ка­зан сред­ний балл участ­ни­ков из 10 стран в те­сти­ро­ва­нии уча­щих­ся 8-го клас­са по есте­ство­зна­нию в 2007 году (по 1000-балль­ной шкале). Среди ука­зан­ных стран пер­вое место при­над­ле­жит Япо­нии. Опре­де­ли­те, какое место за­ни­ма­ет Сло­ве­ния.

Най­ди­те диа­го­наль AC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, если сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток равны 1.

Если шах­ма­тист А. иг­ра­ет бе­лы­ми фи­гу­ра­ми, то он вы­иг­ры­ва­ет у шах­ма­ти­ста Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,52. Если А. иг­ра­ет чер­ны­ми, то А. вы­иг­ры­ва­ет у Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,3. Шах­ма­ти­сты А. и Б. иг­ра­ют две пар­тии, причём во вто­рой пар­тии ме­ня­ют цвет фигур. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что А. вы­иг­ра­ет оба раза.

Ре­ши­те урав­не­ние

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, CH  — вы­со­та, Най­ди­те

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фик функ­ции и ка­са­тель­ная к этому гра­фи­ку, про­ведённая в точке Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции в точке x₀.

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна 4, а угол между бо­ко­вой гра­нью и ос­но­ва­ни­ем равен 45°. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Най­ди­те если

Ло­ка­тор ба­ти­ска­фа, рав­но­мер­но по­гру­жа­ю­ще­го­ся вер­ти­каль­но вниз, ис­пус­ка­ет уль­тра­зву­ко­вые им­пуль­сы ча­сто­той 749 МГц. Ско­рость по­гру­же­ния ба­ти­ска­фа вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где м/с  — ско­рость звука в воде,   — ча­сто­та ис­пус­ка­е­мых им­пуль­сов, f  — ча­сто­та отражённого от дна сиг­на­ла, ре­ги­стри­ру­е­мая приёмни­ком (в МГц). Опре­де­ли­те ча­сто­ту отражённого сиг­на­ла в МГц, если ско­рость по­гру­же­ния ба­ти­ска­фа равна 2 м/⁠с.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те зна­че­ние x, при ко­то­ром

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁ со сто­ро­ной ос­но­ва­ния 12 и вы­со­той 3. Точка K  — се­ре­ди­на BC, точка  L лежит на сто­ро­не A₁B₁ так, что В₁L  =  5. Точка М  — се­ре­ди­на A₁C₁. Через точки K и L про­ве­де­на плос­кость таким об­ра­зом, что она па­рал­лель­на пря­мой  AC.

а)  До­ка­жи­те, что ука­зан­ная выше плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой MB.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды с вер­ши­ной в точке В, у ко­то­рой ос­но­ва­ни­ем яв­ля­ет­ся се­че­ние приз­мы плос­ко­стью.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Вы­со­ты BB₁ и CC₁ ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H.

а)  До­ка­жи­те, что ∠AHB₁ = ∠ACB.

б)  Най­ди­те BC, если AH  =  4 и ∠BAC  =  60°.

Граж­да­нин Пет­ров по слу­чаю рож­де­ния сына от­крыл 1 сен­тяб­ря 2008 года в банке счёт, на ко­то­рый он еже­год­но кла­дет 1000 руб­лей. По усло­ви­ям вкла­да банк еже­год­но на­чис­ля­ет 20% на сумму, на­хо­дя­щу­ю­ся на счёте. Через 6 лет у граж­да­ни­на Пет­ро­ва ро­ди­лась дочь, и 1 сен­тяб­ря 2014 года он от­крыл в дру­гом банке счёт, на ко­то­рый еже­год­но кладёт по 2200 руб­лей, а банк на­чис­ля­ет 44% в год. В каком году после оче­ред­но­го по­пол­не­ния суммы вкла­дов срав­ня­ют­ся, если день­ги со сче­тов не сни­ма­ют?

Найти все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы один ко­рень.

Мно­же­ство чисел назовём хо­ро­шим, если его можно раз­бить на два под­мно­же­ства с оди­на­ко­вой сум­мой чисел.

а)  Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {100; 101; 102; ...; 199} хо­ро­шим?

б)  Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {2; 4; 8; ...; 2²⁰⁰} хо­ро­шим?

в)  Сколь­ко хо­ро­ших четырёхэле­мент­ных под­мно­жеств у мно­же­ства {3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}?