PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решение. Графическое решение.
Запишем первое уравнение системы в виде
При 
левая часть не имеет смысла. При 
уравнение задаёт прямую 
и гиперболу 
(см. рис.). При каждом значении a уравнение 
задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат.
При такая прямая пересекает прямую при 
и 
пересекает правую ветвь гиперболы 
при пересекает левую ветвь гиперболы при 
При этом прямая проходит через точку пересечения прямой и гиперболы при 
Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой и гиперболы с прямой при условии 
Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 
и при 
Аналитическое решение.
Запишем первое уравнение системы в виде
Тогда исходная система равносильна следующей:
При a = 0 система решений не имеет. В противном случае, первое уравнение имеет корень 
который удовлетворяет системе при 
Второе уравнение имеет два различных корня 
только при a > 0, причем, x2 является корнем системы при любом положительном a, а x3 при 
Таким образом, система будет иметь два различных решения при 
Кроме того, положительные корни x1 и x2 могут совпасть 
это происходит при a = 3.
Ответ: 
Примечание.
Полезно сравнить это задание с аналогичной задачей досрочного ЕГЭ 2015 года: найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет единственное решение.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением/исключением точек  и/или  | 3 |
С помощью верного рассуждения получен промежуток  множества значений a, возможно, с включением/исключением граничных точек | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения гиперболы и прямых (аналитически и графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно получены все шаги решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл: | 4 |
и уравнение 
имеет два различных отличных от нуля решения, удовлетворяющих условию 
и произведение равно 
значит, его корни a и 
причём 
Найденные корни удовлетворяют условию (*), если
a — любое число;
Тогда, в силу того, что функция 
монотонна, исходное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда уравнение 
имеет единственный положительный корень.
левая часть полученного уравнения отрицательная, а правая неотрицательная, поэтому полученное уравнение не имеет корней, меньших a.
получаем: 
получаем единственный корень: 
Для этого корня должны выполняться условия 
выполняется при 
выполняется при 
и/или 
множества значений a, возможно, с включением граничных точек
то получаем уравнение
удовлетворяют уравнению.
то получаем уравнение
окружности 
с концами в точках O и A(0; 2), во втором — прямую l, задаваемую уравнением x = 0, в третьем — дугу 
окружности 
с концами в точках A и B(0; −2) (см. рис.).
и 
соответственно.
и 
прямые m касаются дуг 
имеет две общие точки с дугой 
имеет одну общую точку с дугой 
и 
имеет две общие точки с дугой 
возможно, с включением граничных точек
то получаем уравнение
и радиусом 1.
во втором — прямую l, задаваемую уравнением 
окружности 
с концами в точках A и 
(см. рис.).
и 
соответственно.
и 
прямые m касаются дуги 
имеет одну общую точку с дугой 
и 
имеет две общие точки с дугой 
и 
множества значений a, возможно, с включением граничных точек
корней нет. Пусть 
тогда исходное уравнение принимает вид:
корней нет. При 
уравнение 
имеет единственный корень 
При 
получаем:
равен
Эти корни равны
и 
поскольку
и 
и/или 
удовлетворяют условию 
то получаем уравнение 
то координаты любой точки прямой 
удовлетворяют уравнению.
то получаем уравнение 
параболы 
c концом в точке 
во втором — прямую l, задаваемую уравнением х = 3, в третьем — дугу 
параболы 
с концом в точке А (см. рис.). 
или совпадающую с ней. Прямая m проходит через точку А при a = −3.
и 
как квадратные относительно x и найдем, при каких значениях параметра их дискриминанты обращаются в нуль. Тем самым, при 
и 
прямые m касаются дуг 
имеет две общие точки с дугой 
имеет одну общую точку с дугой 
и 
имеет две общие точки с дугой 
или 
; возможно, с включением граничных точек
левая часть уравнения не имеет смысла.
уравнение задаёт прямые 
и гиперболу 
(изображены синим).
и 
прямые m пересекают прямую 
при любом нулевом значении a, прямую 
Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при 
множества значений a, возможно, с включением граничной точки
и прямая 
имеют с прямой 
(см. рис.).
два решения, при 
два решения, при 
три решения, при 
четыре решения, при 
четыре решения.