Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 514614

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

 система выражений левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 3x минус 9 правая круглая скобка = |x минус 3| в кубе ,y=x плюс a конец системы .

имеет ровно четыре различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим три случая.

1)  Если x больше 3, то получаем уравнение

 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 3x минус 9 правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 9 правая круглая скобка ; y=x в квадрате минус 9x плюс 18.

Полученное уравнение задаёт параболу y=x в квадрате минус 9x плюс 18.

2)  Если x=3, то координаты любой точки прямой x=3 удовлетворяют уравнению.

3)  Если x меньше 3, то получаем уравнение

 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 3x минус 9 правая круглая скобка = левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 9 правая круглая скобка ; y= минус x в квадрате плюс 3x.

Полученное уравнение задаёт параболу y= минус x в квадрате плюс 3x.

Таким образом, в первом случае мы получаем дугу \omega_1 параболы y=x в квадрате минус 9x плюс 18 c концом в точке A левая круглая скобка 3; 0 правая круглая скобка , во втором  — прямую l, задаваемую уравнением х = 3, в третьем  — дугу \omega_2 параболы y= минус x в квадрате плюс 3x с концом в точке А (см. рис.).

Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении а оно задаёт прямую m, параллельную прямой y=x или совпадающую с ней. Прямая m проходит через точку А при a =  −3.

Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку. Запишем уравнения x в квадрате минус 9x плюс 18 = x плюс a и  минус x в квадрате плюс 3x = x плюс a как квадратные относительно x и найдем, при каких значениях параметра их дискриминанты обращаются в нуль. Тем самым, при a= минус 7 и a= 1 прямые m касаются дуг \omega_1 и \omega_2 соответственно.

Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении а, имеет одну общую точку с дугой \omega_1 при a= минус 7 и a больше минус 3, имеет две общие точки с дугой \omega_1 при  минус 7 меньше a меньше или равно минус 3, имеет одну общую точку с дугой \omega_2 при a меньше минус 3 и a=1, имеет две общие точки с дугой \omega_2 при  минус 3 меньше или равно a меньше 1.

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой l и дуг \omega_1 и \omega_2 с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно четыре решения при

 минус 7 меньше a меньше минус 3;  минус 3 меньше a меньше 1.

 

Ответ:  минус 7 меньше a меньше минус 3;  минус 3 меньше a меньше 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
C помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличащееся от искомого только включением/исключением точки а = −33
C помощью верного рассуждения получен один из промежутков множества значений a:  левая круглая скобка минус 7; минус 3 правая круглая скобка или  левая круглая скобка минус 3; 1 правая круглая скобка ; возможно, с включением граничных точек2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически и графически)

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл:4

Аналоги к заданию № 514607: 514614 Все

Источник: Задания 18 (С6) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 605 (C часть).
Классификатор алгебры: Комбинация «кривых»