РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 11527296

ЕГЭ — 2016. Основная волна по математике 06.06.2016. Вариант 437. Юг

В летнем лагере 164 ребёнка и 23 воспитателя. Автобус рассчитан не более чем на 45 пассажиров. Какое наименьшее количество автобусов понадобится, чтобы за один раз перевезти всех из лагеря в город?

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали  — температура в градусах Цельсия. Определите по приведённой диаграмме, сколько месяцев среднемесячная температура превышала 20 градусов Цельсия.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен параллелограмм. Найдите его площадь.

Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 30 докладов: в первые два дня по 9 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвёртыми днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Найдите корень уравнения $7 в степени левая круглая скобка 6 минус 5x правая круглая скобка =49.$

Отрезки AC и BD  — диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен 66°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

На рисунке изображён график $y = f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определённой на отрезке (−11; 2). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Объём треугольной пирамиды равен 94. Через вершину пирамиды и среднюю линию её основания проведена плоскость (см. рис.). Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды.

Найдите значение выражения $дробь: числитель: 28 левая круглая скобка синус в квадрате 47 градусов минус косинус в квадрате 47 градусов правая круглая скобка , знаменатель: косинус 94 градусов конец дроби .$

10.  

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T левая круглая скобка t правая круглая скобка =T_0 плюс bt плюс at в квадрате ,$ где t  — время (в мин.), T₀  =  680 К, а  =  −16 К/мин², b  =  224 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1400 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

11.  

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй  — 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 10 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 12% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

12.  

Найдите точку минимума функции $y=1,5x в квадрате минус 27x плюс 42 натуральный логарифм x минус 10.$

13.  

а)  Решите уравнение $2 косинус в квадрате x плюс 1=2 корень из 2 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;3 Пи правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

14.  

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM  =  DN  =  4 и AK  =  3.

а)  Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.

б)  Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

15.  

Решите неравенство $дробь: числитель: 4 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс 7, знаменатель: 4 в степени x минус 5 умножить на 2 в степени x плюс 4 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 2 в степени x минус 9, знаменатель: 2 в степени x минус 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени x минус 6 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

16.  

В трапеции ABCD точка E  — середина основания AD, точка M  — середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке O.

а)  Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.

б)  Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника AMOE, если BC  =  3, AD  =  4.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

17.  

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S  — целое число. Условия его возврата таковы:

  — каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

  — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

  — в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	Июль 2016	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019	Июль 2020
Долг (в млн рублей)	S	0,8S	0,5S	0,1S	0

Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

18.  

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$дробь: числитель: x минус 2a, знаменатель: x плюс 2 конец дроби плюс дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: x минус a конец дроби =1$

имеет ровно один корень.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
С помощью верного рассуждения найдены точки $a= минус 2,$ $a= минус 1$ и $a=1$ множества значений a.	3
C помощью верного рассуждения найдены точки $a= дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ и $a= дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ множества значений a. ИЛИ Обоснованно получена хотя бы одна из точек множества значений a: $a= минус 2,$ $a= минус 1$ и $a=1.$	2
Задача верно сведена к исследованию корней уравнения $x в квадрате минус левая круглая скобка 2a плюс 1 правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка 2a в квадрате плюс 2a минус 2 правая круглая скобка =0.$ ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

19.  

На доске написано 10 неотрицательных чисел. За один ход стираются два числа, а вместо них записывается сумма, округлённая до целого числа (например, вместо 5,5 и 3 записывается 9, а вместо 3,3 и 5 записывается 8).

а)  Приведите пример 10 нецелых чисел и последовательности 9 ходов, после которых на доске будет записано число, равное сумме исходных чисел.

б)  Может ли после 9 ходов на доске быть написано число, отличающееся от суммы исходных чисел на 7?

в)  На какое наибольшее число могут отличаться числа, записанные на доске после 9 ходов, выполненных с одним и тем же набором исходных чисел в различном порядке?

Решение. Назовём результатом число, написанное на доске после 9 ходов.

а)  Если на доске написаны числа

0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01,

то при любой последовательности ходов результат равен 5 и равен сумме чисел.

б)  Заметим, что за каждый ход вновь написанное число отличается от суммы стёртых не более чем на 0,5. Значит, результат будет отличаться от суммы исходных чисел не более чем на 4,5. Значит, не существует 10 чисел таких, что результат отличается от их суммы на 7.

в)  Можем считать, что все числа меньше 1 и не меньше 0, поскольку целые части каждого из чисел при сложении не влияют на разницу между их суммой и её округлённым значением.

Каждое изначальное число участвует ровно в одном ходе. Если в этом ходе также участвовало целое число, не написанное на доске изначально, то назовём вкладом изначально числа в результат разность записанного после хода числа и стёртого целого числа. Если оба числа, участвовавших в ходе, были написаны на доске изначально, то назовём вкладом каждого из них в результат половину записанного после хода числа.

Заметим, что результат равен сумме вкладов изначальных чисел. С другой стороны, вклад каждого числа, меньшего 0,5, равен 0 или 0,5, а вклад каждого числа, не меньшего 0,5, равен 0,5 или 1.

Пусть n  — количество чисел, не меньших 0,5.

Тогда сумма вкладов будет не меньше $дробь: числитель: n, знаменатель: 2 конец дроби$ и не больше $дробь: числитель: 10 минус n, знаменатель: 2 конец дроби плюс n= дробь: числитель: n, знаменатель: 2 конец дроби плюс 5.$

То есть наибольшая разность двух различных результатов не превосходит 5.

Рассмотрим 10 чисел: два числа 0,5 и восемь чисел 0,4. Если вначале сложить два числа 0,5, а затем делать ходы с полученной единицей и числом 0,4, то результат будет равен 1. Если сделать четыре хода, попарно сложив числа 0,4, затем сложить четыре полученные единицы, а потом делать ходы с полученным числом и числом 0,5, то результат будет равен 6.

Таким образом, наибольшая возможная разность двух различных результатов равна 5.

Ответ: а)  например, числа 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01 и любая последовательность ходов; б)  нет; в)  5.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514453	5
2	514454	2
3	514455	10
4	514456	0,2
5	514457	0,8
6	514458	57
7	514459	-7
8	514460	23,5
9	514461	-28
10	514462	5
11	514463	18
12	514464	7
13	514472	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$
14	514480	б) $дробь: числитель: 12 корень из 5 , знаменатель: 5 конец дроби .$
15	514481	$левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка логарифм по основанию 2 6;3 правая квадратная скобка .$
16	514482	б) $дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби .$
17	514483	36.
18	514484	$a= дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $a= минус 2,$ $a= минус 1,$ $a=1,$ $a= дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$
19	514485	а)  например, числа 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01 и любая последовательность ходов; б)  нет; в)  5.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  пример в п. а; ―  обоснованное решение п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

ЕГЭ — 2016. Основная волна по математике 06.06.2016. Вариант 437. Юг

Ключ

ЕГЭ — 2016. Основная волна по математике 06.06.2016. Вариант 437. Юг