Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 514482
i

В тра­пе­ции ABCD точка E  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния AD, точка M  — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны AB. От­рез­ки CE и DM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка AMOE и тре­уголь­ни­ка COD равны.

б)  Най­ди­те, какую часть от пло­ща­ди тра­пе­ции со­став­ля­ет пло­щадь четырёхуголь­ни­ка AMOE, если BC  =  3, AD  =  4.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Обо­зна­чим вы­со­ту тра­пе­ции через h (рис. 1). Тогда рас­сто­я­ние от точки M до пря­мой AD равно  дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Зна­чит,

S_AMD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на h умно­жить на дробь: чис­ли­тель: AD, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =S_CED.

При этом

S_AMD=S_AMOE плюс S_EOD,

S_CED=S_COD плюс S_EOD,

по­это­му S_AMOE=S_COD.

 

б)  Пусть пря­мые BC и MD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K (рис. 2). Тогда \angle KBM=\angle MAD как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых KC и AD и се­ку­щей AB, \angle BMK=\angle AMD как вер­ти­каль­ные, AM  =  BM. Зна­чит, тре­уголь­ни­ки AMD и BMK равны, от­ку­да BK  =  AD  =  4.

Углы KOC и DOE равны как вер­ти­каль­ные, \angle OED=\angle OCK как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых KC и AD и се­ку­щей CE. Зна­чит, тре­уголь­ни­ки KOC и DOE по­доб­ны по двум углам, от­ку­да  дробь: чис­ли­тель: OE, зна­ме­на­тель: OC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ED, зна­ме­на­тель: CK конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби . Сле­до­ва­тель­но,

S_AMOE=S_COD= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби S_CDE= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на h= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 7h, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби S_ABCD.

Ответ: б)  дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: ЕГЭ — 2016. Ос­нов­ная волна по ма­те­ма­ти­ке 06.06.2016. Ва­ри­ант 437. Юг
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства