В трапеции ABCD точка E — середина основания AD, точка M — середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке O.
а) Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника AMOE, если BC = 3, AD = 4.
а) Обозначим высоту трапеции через h (рис. 1). Тогда расстояние от точки M до прямой AD равно
Значит,
При этом
поэтому
б) Пусть прямые BC и MD пересекаются в точке K (рис. 2). Тогда как накрест лежащие при параллельных прямых KC и AD и секущей AB,
как вертикальные, AM = BM. Значит, треугольники AMD и BMK равны, откуда BK = AD = 4.
Углы KOC и DOE равны как вертикальные, как накрест лежащие при параллельных прямых KC и AD и секущей CE. Значит, треугольники KOC и DOE подобны по двум углам, откуда
Следовательно,
Ответ: б)

