СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 508750

В последовательности 2, 0, 0, 0, 2, 2, 4, … каждый член, начиная с пятого, равен последней цифре суммы предшествующих четырёх членов.

а) Встретятся ли в этой последовательности еще раз подряд 4 цифры 2, 0, 0, 0?

б) Встретятся ли в ней четыре подряд цифры 0, 0, 8, 2?

Решение.

а) Будем рассматривать нашу последовательность как переходы от одной четвёрки к следующей. Например, в начале имеем 2000 → 0002 → 0022 → 0224 → 2248 → 2486 →... и т.д.

Четвёрок конечное число, следующая четвёрка однозначно определена через предыдущую, поэтому начиная с некоторого момента происходит зацикливание. Отсюда, однако, ещё не следует, что 2000 когда-то встретится ещё раз. Контрпример: цикл не содержит четвёрку 2000, но с неё есть путь в этот цикл.

Итак, от четвёрки a,b,c,d мы переходим к четвёрке b,c,d, e, где e равно остатку от деления a+b+c+d на 10.

Теперь пусть у нас есть четвёрка a, b, c, d. Какой может быть предыдущая четвёрка? Пусть это будет x, a, b, c. Тогда d равно остатку от деления x+a+b+c на 10, поэтому x определён однозначно. Следовательно, для каждой четвёрки однозначно определена предыдущая. Поэтому никаких дополнительных "входов" в рассмотренный цикл нет (и рассмотренный контрпример несостоятелен). Следовательно, 2000 уже в цикле и через какое-то время повторится.

 

б) Пусть четверка 2,0,0,0 встретилась второй раз, тогда перед двойкой стояла 8, перед восьмеркой стоял ноль, перед нулем - еще один ноль. Значит, цифры 0,0,8,2 обязательно встретятся.

 

 

Ответ: а) да; б) да.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 88.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства