ЕГЭ−2021, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание 4 № 321415

В классе 33 учащихся, среди них два друга — Сергей и Олег. Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Сергей и Олег окажутся в одной группе.

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

В классе 26 учащихся, среди них два друга — Андрей и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

Пусть один из друзей находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников. Вероятность того, что второй друг окажется среди этих 12 человек, равна 12 : 25 = 0,48.

Ответ: 0,48.

Изложим решение иначе.

Пусть Андрей оказался в некоторой группе. Сергей может занять любое из оставшихся 25 мест. Из них 12 мест будут в группе с Андреем. Поэтому искомая вероятность равна 12 : 25 = 0,48.

Приведем комбинаторное решение.

Всего способов выбрать 13 учащихся из 26 учащихся класса равно $C_{26} в степени 13 .$ Выбрать пару «Андрей и Сергей» и поместить их в одну из двух групп можно $C_{2} в степени 1 =2$ способами. Добавить в эту группу еще одиннадцать из оставшихся 24 учащихся можно $C_{24} в степени 11$ способами. Поэтому вероятность того, что мальчики окажутся в одной группе, равна

$дробь, числитель — C_2 в степени 1 умножить на C_{24} в степени 11 , знаменатель — C в степени 13 _{26 } = дробь, числитель — 2 умножить на дробь, числитель — 24!, знаменатель — 11! умножить на 13! , знаменатель — { дробь, числитель — 26!, знаменатель — 13! умножить на 13! } = дробь, числитель — 2 умножить на 12 умножить на 13, знаменатель — 25 умножить на 26 = 0,48.$

Приведем еще одно решение.

Рассмотрим первую группу. Вероятность того, что Андрей окажется в ней, равна $дробь, числитель — 13, знаменатель — 26 .$ Если Андрей уже находится в первой группе, то вероятность того, что Сергей окажется в этой же группе, равна $дробь, числитель — 12, знаменатель — 25 .$ Поскольку обе группы равноправны, вероятность того, что друзья окажутся в одной группе, равна

$2 умножить на дробь, числитель — 13, знаменатель — 26 умножить на дробь, числитель — 12, знаменатель — 25 = дробь, числитель — 12, знаменатель — 25 =0,48.$

Приведем еще одно решение.

Пусть Андрей оказался в некоторой группе, наберем к нему в группу еще 12 человек из оставшихся 25. Вероятность того, что среди них не окажется Сергея, равна $дробь, числитель — 24, знаменатель — 25 умножить на дробь, числитель — 23, знаменатель — 24 умножить на \ldots умножить на дробь, числитель — 13, знаменатель — 14 = дробь, числитель — 13, знаменатель — 25 .$ Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что мальчики окажутся в одной группе, равна 1 − 0,52 = 0,48.

Прототип задания · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина