Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 4 № 321459

В классе 16 учащихся, среди них два друга — Андрей и Михаил. Учащихся случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Михаил окажутся в одной группе.

 

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.


В классе 26 учащихся, среди них два друга — Андрей и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

Пусть один из друзей находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников. Вероятность того, что второй друг окажется среди этих 12 человек, равна 12 : 25 = 0,48.

 

Ответ: 0,48.

 

Изложим решение иначе.

Пусть Андрей оказался в некоторой группе. Сергей может занять любое из оставшихся 25 мест. Из них 12 мест будут в группе с Андреем. Поэтому искомая вероятность равна 12 : 25 = 0,48.

 

Приведем комбинаторное решение.

Всего способов выбрать 13 учащихся из 26 учащихся класса равно C_{26} в степени 13 . Выбрать пару «Андрей и Сергей» и поместить их в одну из двух групп можно C_{2} в степени 1 =2 способами. Добавить в эту группу еще одиннадцать из оставшихся 24 учащихся можно C_{24} в степени 11 способами. Поэтому вероятность того, что мальчики окажутся в одной группе, равна

 дробь, числитель — C_2 в степени 1 умножить на C_{24} в степени 11 , знаменатель — C в степени 13 _{26 } = дробь, числитель — 2 умножить на дробь, числитель — 24!, знаменатель — 11! умножить на 13! , знаменатель — { дробь, числитель — 26!, знаменатель — 13! умножить на 13! } = дробь, числитель — 2 умножить на 12 умножить на 13, знаменатель — 25 умножить на 26 = 0,48.

Приведем еще одно решение.

Рассмотрим первую группу. Вероятность того, что Андрей окажется в ней, равна  дробь, числитель — 13, знаменатель — 26 . Если Андрей уже находится в первой группе, то вероятность того, что Сергей окажется в этой же группе, равна  дробь, числитель — 12, знаменатель — 25 . Поскольку обе группы равноправны, вероятность того, что друзья окажутся в одной группе, равна

2 умножить на дробь, числитель — 13, знаменатель — 26 умножить на дробь, числитель — 12, знаменатель — 25 = дробь, числитель — 12, знаменатель — 25 =0,48.

 

Приведем еще одно решение.

Пусть Андрей оказался в некоторой группе, наберем к нему в группу еще 12 человек из оставшихся 25. Вероятность того, что среди них не окажется Сергея, равна  дробь, числитель — 24, знаменатель — 25 умножить на дробь, числитель — 23, знаменатель — 24 умножить на \ldots умножить на дробь, числитель — 13, знаменатель — 14 = дробь, числитель — 13, знаменатель — 25 . Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что мальчики окажутся в одной группе, равна 1 − 0,52 = 0,48.