Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же хорду.

Зна­чит,

Ответ: 64.

Пусть цен­траль­ный и впи­сан­ный угол опи­ра­ют­ся на дугу 2α гра­ду­сов. Цен­траль­ный угол равен дуге, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, а впи­сан­ный равен её по­ло­ви­не, по­это­му их ве­ли­чи­ны равны со­от­вет­ствен­но 2α и α гра­ду­сов. Тогда 2α − α  =  15°, от­ку­да 2α  =  30°.

Ответ: 30.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник AOB. Он рав­но­сто­рон­ний, так как AO  =  OB  =  AB  =  R. По­это­му угол AOB  =  60. Впи­сан­ный угол ACB равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся. Таким об­ра­зом, он равен 30°.

Ответ: 30.

При­ве­дем ре­ше­ние Алек­сандра Ти­щен­ко.

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC, где ∠ACB  — ис­ко­мый угол, а AB  — хорда, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся:

от­ку­да ис­ко­мый угол равен 30°.

Впи­сан­ный угол до­пол­ня­ет по­ло­ви­ну цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же хорду, до 180°. Тре­уголь­ник AOB яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ним, так как AO  =  OB  =  AB  =  R, по­это­му угол AOB  =  60°. Тогда

Ответ: 150.

Пусть впи­сан­ный угол равен x, тогда цен­траль­ный угол равен По­лу­ча­ем урав­не­ние:

Ответ: 36.