PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 507570 
Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Системы тригонометрических уравнений
Уравнения, системы уравнений. Системы тригонометрических уравнений
i
Решите систему 
Решение. Из второго уравнения находим: 
Учитывая, что 
получаем систему уравнений:
Ответ: 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а или пункте б, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения уравнения и отбора корней | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Ответ:
507570
откуда 
или 
то 
тогда 
Это невозможно.
то 
тогда 
Это невозможно.
то 
тогда 
откуда 
Значит, 
или 
то второе уравнение не имеет решений. При 
рассмотрим второе уравнение как квадратное относительно 
Дискриминант равен 
Чтобы уравнение имело действительные решения, нужно, чтобы дискриминант был неотрицателен. Выражение 
отрицательно при всех возможных x, значит, 
Следовательно, случай 
находим: 
Второе уравнение принимает вид: 
откуда: 
Значит, 
или 
а второе уравнение принимает вид 
откуда 
Учитывая, что 
Тогда 
или 
Последнее равносильно 
Тогда 
что невозможно. 
Тогда 
что невозможно.
не удовлетворяет уравнению (*).
удовлетворяет уравнению (*).
то 
при этом из второго уравнения следует, что 
то из первого уравнения находим: 
или 
учитывая условие 
находим: 
или 
тогда либо 
и 
либо 
и 
— не дает решения.
тогда 
— не дает решения.
находим: 
и 
либо 
и 
— не дает решения.
— не дает решения.
откуда 
или 
тогда 
тогда 
Это невозможно.
тогда 
и в этом случае получаются решения системы.
и y должны иметь различные знаки.
тогда получим:
Тогда 
И из второго уравнения получаем: 
откуда 
Из второго уравнения следует, что 
Тогда 
откуда 
а из второго уравнения получаем: 
откуда 
откуда 
или 
Из второго уравнения следует, что 
Таким образом, 
Рассмотрим оставшиеся случаи.
Тогда 
Тогда 
Получим:
из второго уравнения следует: 
откуда 
из второго уравнения следует: 
Решений нет.
из системы. Получим:
из второго уравнения получаем: 
откуда 
из второго уравнения получаем: 
Нет решений.
Получаем:
Второе уравнение принимает вид 
откуда 
тогда
не имеет решений. Из первого уравнения следует, что 
Из уравнения 
находим, что 
или 
Условию 
удовлетворяет только 
Следовательно, 
откуда 
и, значит, 
Тогда 
получаем: 
значит, 
Поэтому 
Тогда
Тогда уравнение примет вид:
не имеет решений. Из уравнения 
находим: 
откуда 
значит, 
Поэтому 
Найдём y из второго уравнения:
или 
то из первого уравнения 
Уравнение не имеет решений. Если 
то 
и из первого уравнения получаем: 
получаем 
тогда 
или 
Если 
то 
если 
то 
Из второго уравнения получаем 
откуда 
или 
При 
Значит, первое решение системы 
Тогда 
и поэтому из первого уравнения получаем: 
Тогда 
Из всех решений уравнения 
этому условию удовлетворяет только 
При этом 
и, из второго уравнения получаем: 
Из всех решений этого уравнения интервалу 
принадлежит только 
Значит, второе решение системы 
Разложим выражение 
как сумму кубов квадратов:
тогда
Находим:
найдем перебором. При 
получаем: 
— не лежит на данном отрезке — или 
— лежит на данном отрезке. При 
находим корни 
и 
лежащие на заданном отрезке. При 
получаем: 
— не лежит на данном отрезке — или 
— лежит на данном отрезке. При 
и при 
серии корней не дают решений из заданного отрезка. 
б) 
