ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д8 C1 № 556483 Добавить в вариант

а)  Решите уравнение $16 умножить на левая круглая скобка синус в степени 6 x плюс косинус в степени 6 x правая круглая скобка = 13.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 Пи ; 3 Пи правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть $a= синус x,$ $b = косинус x.$ Разложим выражение $a в степени 6 плюс b в степени 6$ как сумму кубов квадратов:

$a в степени 6 плюс b в степени 6 = левая круглая скобка a в квадрате правая круглая скобка в кубе плюс левая круглая скобка b в квадрате правая круглая скобка в кубе = левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка a в степени 4 минус a в квадрате b в квадрате плюс b в степени 4 правая круглая скобка = левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате правая круглая скобка в квадрате минус 3a в квадрате b в квадрате правая круглая скобка .$ $a в степени 6 плюс b в степени 6 = левая круглая скобка a в квадрате правая круглая скобка в кубе плюс левая круглая скобка b в квадрате правая круглая скобка в кубе = левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка a в степени 4 минус a в квадрате b в квадрате плюс b в степени 4 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате правая круглая скобка в квадрате минус 3a в квадрате b в квадрате правая круглая скобка .$ $a в степени 6 плюс b в степени 6 = левая круглая скобка a в квадрате правая круглая скобка в кубе плюс левая круглая скобка b в квадрате правая круглая скобка в кубе =$
$= левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка a в степени 4 минус a в квадрате b в квадрате плюс b в степени 4 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате правая круглая скобка в квадрате минус 3a в квадрате b в квадрате правая круглая скобка .$

Заметим, что $a в квадрате плюс b в квадрате = синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x=1,$ тогда

$синус в степени 6 x плюс косинус в степени 6 x=1 умножить на левая круглая скобка 1 минус 3 синус в квадрате косинус в квадрате x правая круглая скобка =1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби синус в квадрате 2x.$

Преобразуем полученное выражение, используя формулу $синус в квадрате x= дробь: числитель: 1 минус косинус 2x, знаменатель: 2 конец дроби .$ Находим:

$1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби синус в квадрате 2x=1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 1 минус косинус 4x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби косинус 4x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби косинус 4x.$

Исходное уравнение принимает вид

$16 левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби косинус 4x правая круглая скобка =13 равносильно 6 косинус 4x=3 равносильно косинус 4x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$

$равносильно совокупность выражений 4x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,4x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k,x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Решения из отрезка $левая квадратная скобка 2 Пи ; 3 Пи правая квадратная скобка$ найдем перебором. При $k=4$ получаем: $x= дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 12 конец дроби$   — не лежит на данном отрезке  — или $x= дробь: числитель: 25 Пи , знаменатель: 12 конец дроби$   — лежит на данном отрезке. При $k=5$ находим корни $x= дробь: числитель: 29 Пи , знаменатель: 12 конец дроби$ и $x= дробь: числитель: 31 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ лежащие на заданном отрезке. При $k=6$ получаем: $x= дробь: числитель: 37 Пи , знаменатель: 12 конец дроби$   — не лежит на данном отрезке  — или $x= дробь: числитель: 35 Пи , знаменатель: 12 конец дроби$   — лежит на данном отрезке. При $k больше 6$ и при $k меньше 4$ серии корней не дают решений из заданного отрезка.

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 25 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 29 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 31 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 35 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 335

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь