В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, ВС  =  2. Най­ди­те АС.

Длина век­то­ра равна угол между век­то­ра­ми и равен 45°, а ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние равно 12. Най­ди­те длину век­то­ра

Най­ди­те угол CAD₂ мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке. Все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые. Ответ дайте в гра­ду­сах.

В празд­нич­ном на­бо­ре 100 ша­ри­ков: 10 крас­ных, 20 синих, осталь­ные жел­тые и зе­ле­ные, их по­ров­ну. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что из на­бо­ра до­ста­ли один шарик си­не­го или жел­то­го цвета?

Стре­лок в тире стре­ля­ет по ми­ше­ни до тех пор, пока не по­ра­зит её. Из­вест­но, что он по­па­да­ет в цель с ве­ро­ят­но­стью 0,2 при каж­дом от­дель­ном вы­стре­ле. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство па­тро­нов нужно дать стрел­ку, чтобы он по­ра­зил цель с ве­ро­ят­но­стью не менее 0,6?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−4; 8). Най­ди­те точку экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−2; 6].

Катер дол­жен пе­ре­сечь реку ши­ри­ной м и со ско­ро­стью те­че­ния м/с так, чтобы при­ча­лить точно на­про­тив места от­прав­ле­ния. Он может дви­гать­ся с раз­ны­ми ско­ро­стя­ми, при этом время в пути, из­ме­ря­е­мое в се­кун­дах, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем где   — ост­рый угол, за­да­ю­щий на­прав­ле­ние его дви­же­ния (от­счи­ты­ва­ет­ся от бе­ре­га). Под каким ми­ни­маль­ным углом (в гра­ду­сах) нужно плыть, чтобы время в пути было не боль­ше 200 с?

На из­го­тов­ле­ние 475 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 6 часов мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 550 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 3 де­та­ли боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет пер­вый ра­бо­чий?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те его корни на про­ме­жут­ке

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ точка K делит бо­ко­вое ребро AA₁ в от­но­ше­нии AK : KA₁  =  1 : 2. Через точки B и K про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой AC и пе­ре­се­ка­ю­щая ребро DD₁ в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро DD₁ в от­но­ше­нии DM : MD₁  =  2 : 1.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, если из­вест­но, что AB  =  4, AA₁  =  6.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

15-го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 600 000 руб­лей на 26 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 1 % по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  cо 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа с 1 по 25 месяц долг дол­жен умень­шать­ся на одну и ту же сумму;

—  15-⁠го числа 26 ме­ся­ца долг дол­жен быть по­га­шен.

Сколь­ко тысяч руб­лей со­став­ля­ет долг на 15 число 25 ме­ся­ца, если всего было вы­пла­че­но 691 тысяч руб­лей?

В тре­уголь­ни­ке АВС угол АВС равен 60°. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник, ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что от­ре­зок BM не боль­ше утро­ен­но­го ра­ди­у­са впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те если из­вест­но, что от­ре­зок ВМ в 2,5 раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

не имеет ре­ше­ний.

В стро­ку под­ряд на­пи­са­но 1000 чисел. Под каж­дым чис­лом a пер­вой стро­ки на­пи­шем число, ука­зы­ва­ю­щее, сколь­ко раз число a встре­ча­ет­ся в пер­вой стро­ке. Из по­лу­чен­ной таким об­ра­зом вто­рой стро­ки ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем тре­тью: под каж­дым чис­лом вто­рой стро­ки пишем, сколь­ко раз оно встре­ча­ет­ся во вто­рой стро­ке. Затем из тре­тьей стро­ки так же по­лу­ча­ем четвёртую, из четвёртой  — пятую и так далее.

а)  До­ка­жи­те, что не­ко­то­рая строч­ка сов­па­да­ет со сле­ду­ю­щей.

б)  До­ка­жи­те, что 11‐⁠я стро­ка сов­па­да­ет с 12‐⁠й.

в)  При­ве­ди­те при­мер такой пер­во­на­чаль­ной строч­ки, для ко­то­рой 10‐⁠я стро­ка не сов­па­да­ет с 11‐⁠й.