Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 514476

В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.

а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.

б) Найдите  синус \angle BMC, если известно, что отрезок ВМ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

Решение.

а) Пусть O — центр вписанной окружности. Проведём OH ⊥ BC, в треугольнике BHO катет OH лежит напротив угла в 30°, поэтому BO=2OH=2r. Тогда в силу неравенства треугольника имеем: BM\leq BO плюс OM меньше или равно 3r что и требовалось доказать.

б) Запишем теорему косинусов для треугольника BOM: BO в степени 2 =BM в степени 2 плюс OM в степени 2 минус 2BM умножить на OM косинус \angle{BMO}, откуда

(2r) в степени 2 = левая круглая скобка дробь, числитель — 5, знаменатель — 2 r правая круглая скобка в степени 2 плюс r в степени 2 минус 2 умножить на дробь, числитель — 5, знаменатель — 2 r умножить на r косинус \angle{BMO} равносильно

 

 равносильно 4r в степени 2 = дробь, числитель — 25, знаменатель — 4 r в степени 2 плюс r в степени 2 минус 5r в степени 2 косинус \angle{BMO} равносильно

 

 равносильно косинус \angle{BMO}= дробь, числитель — дробь, числитель — 29, знаменатель — 4 r в степени 2 минус 4r в степени 2 , знаменатель — { 5r в степени 2 } равносильно косинус \angle{BMO}= дробь, числитель — 13, знаменатель — 20 .

Осталось заметить, что

 синус \angle{BMC}= синус (90 в степени circ плюс \angle{BMO})= косинус \angle{BMO}=0,65.

 

Ответ: 0,65.

 

Примечание Серегея Пепеляева

Составители ЕГЭ ошиблись. Описанный в условии задачи треугольник невозможен. Наименьшая возможная длина отрезка BM равна  корень из { 7r} когда угол ВСА стремится к нулю, а угол BOM приближается к 120°. Число 2,5 необходимо увеличить.

Источник: Задания 16 (С4) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Юг (C часть).
Методы геометрии: Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и треугольники, Окружность, вписанная в треугольник, Окружность, описанная вокруг треугольника