Сто­ро­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равна Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник.

Длина век­то­ра равна угол между век­то­ра­ми и равен 45°, а ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние равно 12. Най­ди­те длину век­то­ра

Най­ди­те угол CAD₂ мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке. Все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые. Ответ дайте в гра­ду­сах.

В празд­нич­ном на­бо­ре 100 ша­ри­ков: 10 крас­ных, 20 синих, осталь­ные жел­тые и зе­ле­ные, их по­ров­ну. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что из на­бо­ра до­ста­ли один шарик си­не­го или жел­то­го цвета?

Стре­лок в тире стре­ля­ет по ми­ше­ни до тех пор, пока не по­ра­зит её. Из­вест­но, что он по­па­да­ет в цель с ве­ро­ят­но­стью 0,2 при каж­дом от­дель­ном вы­стре­ле. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство па­тро­нов нужно дать стрел­ку, чтобы он по­ра­зил цель с ве­ро­ят­но­стью не менее 0,6?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−4; 8). Най­ди­те точку экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−2; 6].

Катер дол­жен пе­ре­сечь реку ши­ри­ной м и со ско­ро­стью те­че­ния м/с так, чтобы при­ча­лить точно на­про­тив места от­прав­ле­ния. Он может дви­гать­ся с раз­ны­ми ско­ро­стя­ми, при этом время в пути, из­ме­ря­е­мое в се­кун­дах, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем где   — ост­рый угол, за­да­ю­щий на­прав­ле­ние его дви­же­ния (от­счи­ты­ва­ет­ся от бе­ре­га). Под каким ми­ни­маль­ным углом (в гра­ду­сах) нужно плыть, чтобы время в пути было не боль­ше 200 с?

На из­го­тов­ле­ние 475 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 6 часов мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 550 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 3 де­та­ли боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет пер­вый ра­бо­чий?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ точка K делит бо­ко­вое ребро AA₁ в от­но­ше­нии AK : KA₁  =  1 : 2. Через точки B и K про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой AC и пе­ре­се­ка­ю­щая ребро DD₁ в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро DD₁ в от­но­ше­нии DM : MD₁  =  2 : 1.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, если из­вест­но, что AB  =  4, AA₁  =  6.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

15-го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 600 000 руб­лей на 26 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 1 % по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  cо 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа с 1 по 25 месяц долг дол­жен умень­шать­ся на одну и ту же сумму;

—  15-⁠го числа 26 ме­ся­ца долг дол­жен быть по­га­шен.

Сколь­ко тысяч руб­лей со­став­ля­ет долг на 15 число 25 ме­ся­ца, если всего было вы­пла­че­но 691 тысяч руб­лей?

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция KLMN с ос­но­ва­ни­я­ми KN и LM. Окруж­ность с цен­тром O, по­стро­ен­ная на бо­ко­вой сто­ро­не KL как на диа­мет­ре, ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны MN и вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет боль­шее ос­но­ва­ние KN в точке H, точка Q  — се­ре­ди­на MN.

а)  До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник NQOH  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те KN, если и LM  =  1.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

Про три раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа из­вест­но, что они яв­ля­ют­ся дли­на­ми сто­рон не­ко­то­ро­го ту­по­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка.

а)  Могло ли от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них быть равно

б)  Могло ли от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них быть равно

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них, если из­вест­но, что сред­нее по ве­ли­чи­не из этих чисел равно 25?