В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, Най­ди­те вы­со­ту CH.

На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти изоб­ра­же­ны век­то­ры и Най­ди­те длину век­то­ра

Объем пер­во­го куба в 8 раз боль­ше объ­е­ма вто­ро­го куба. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го куба боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го куба?

В сбор­ни­ке би­ле­тов по био­ло­гии всего 25 би­ле­тов, в двух из них встре­ча­ет­ся во­прос о гри­бах. На эк­за­ме­не школь­ни­ку достаётся один слу­чай­но вы­бран­ный билет из этого сбор­ни­ка. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в этом би­ле­те не будет во­про­са о гри­бах.

Всем па­ци­ен­там с по­до­зре­ни­ем на ге­па­тит де­ла­ют ана­лиз крови. Если ана­лиз вы­яв­ля­ет ге­па­тит, то ре­зуль­тат ана­ли­за на­зы­ва­ет­ся по­ло­жи­тель­ным. У боль­ных ге­па­ти­том па­ци­ен­тов ана­лиз даёт по­ло­жи­тель­ный ре­зуль­тат с ве­ро­ят­но­стью 0,9. Если па­ци­ент не болен ге­па­ти­том, то ана­лиз может дать лож­ный по­ло­жи­тель­ный ре­зуль­тат с ве­ро­ят­но­стью 0,01. Из­вест­но, что 5% па­ци­ен­тов, по­сту­па­ю­щих с по­до­зре­ни­ем на ге­па­тит, дей­стви­тель­но боль­ны ге­па­ти­том. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ре­зуль­тат ана­ли­за у па­ци­ен­та, по­сту­пив­ше­го в кли­ни­ку с по­до­зре­ни­ем на ге­па­тит, будет по­ло­жи­тель­ным.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния если

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции и от­ме­че­ны точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек зна­че­ние про­из­вод­ной наи­мень­шее? В от­ве­те ука­жи­те эту точку.

Вы­со­та над землeй под­бро­шен­но­го вверх мяча ме­ня­ет­ся по за­ко­ну где h  — вы­со­та в мет­рах, t  — время в се­кун­дах, про­шед­шее с мо­мен­та брос­ка. Сколь­ко се­кунд мяч будет на­хо­дить­ся на вы­со­те не менее трeх мет­ров?

Два гон­щи­ка участ­ву­ют в гон­ках. Им пред­сто­ит про­ехать 60 кру­гов по коль­це­вой трас­се про­тяжённо­стью 3 км. Оба гон­щи­ка стар­то­ва­ли од­но­вре­мен­но, а на финиш пер­вый пришёл рань­ше вто­ро­го на 10 минут. Чему рав­ня­лась сред­няя ско­рость вто­ро­го гон­щи­ка, если из­вест­но, что пер­вый гон­щик в пер­вый раз обо­гнал вто­ро­го на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точке A. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки A.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те его корни на про­ме­жут­ке

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ из­вест­ны рёбра: AB AA₁  =  4. Точка M  — се­ре­ди­на ребра BC.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые B₁C и C₁M пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой C₁M и плос­ко­стью грани ABB₁A₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

1 марта 2010 года Ар­ка­дий взял в банке кре­дит под 10% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 1 марта каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 10%), затем Ар­ка­дий пе­ре­во­дит в банк пла­теж. Весь долг Ар­ка­дий вы­пла­тил за 3 пла­те­жа, при­чем вто­рой пла­теж ока­зал­ся в два раза боль­ше пер­во­го, а тре­тий  — в три раза боль­ше пер­во­го. Сколь­ко руб­лей взял в кре­дит Ар­ка­дий, если за три года он вы­пла­тил банку 2 395 800 руб­лей?

Окруж­ность, впи­сан­ная в тра­пе­цию ABCD, ка­са­ет­ся ее бо­ко­вых сто­рон AB и CD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что AM  =  8MB и DN  =  2CN.

а)  До­ка­жи­те, что AD  =  4BC.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра а си­сте­ма имеет че­ты­ре ре­ше­ния?

На окруж­но­сти не­ко­то­рым спо­со­бом рас­ста­ви­ли на­ту­раль­ные числа от 1 до 21 (каж­дое число по­став­ле­но по од­но­му разу). Затем для каж­дой пары со­сед­них чисел нашли раз­ность боль­ше­го и мень­ше­го.

а)  Могли ли все по­лу­чен­ные раз­но­сти быть не мень­ше 11?

б)  Могли ли все по­лу­чен­ные раз­но­сти быть не мень­ше 10?

в)  По­ми­мо по­лу­чен­ных раз­но­стей, для каж­дой пары чисел, сто­я­щих через одно, нашли раз­ность боль­ше­го и мень­ше­го. Для ка­ко­го наи­боль­ше­го це­ло­го числа k можно так рас­ста­вить числа, чтобы все раз­но­сти были не мень­ше k?