Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 3 и 2. Най­ди­те от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей тра­пе­ции.

Най­ди­те квад­рат длины век­то­ра  +

От тре­уголь­ной приз­мы, объем ко­то­рой равен 6, от­се­че­на тре­уголь­ная пи­ра­ми­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через сто­ро­ну од­но­го ос­но­ва­ния и про­ти­во­по­лож­ную вер­ши­ну дру­го­го ос­но­ва­ния. Най­ди­те объем остав­шей­ся части.

В фирме такси в на­ли­чии 50 лег­ко­вых ав­то­мо­би­лей; 27 из них чёрного цвета с жёлтыми над­пи­ся­ми на бор­тах, осталь­ные  — жёлтого цвета с чёрными над­пи­ся­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на слу­чай­ный вызов при­е­дет ма­ши­на жёлтого цвета с чёрными над­пи­ся­ми.

На ри­сун­ке изоб­ражён ла­би­ринт. Паук за­пол­за­ет в ла­би­ринт в точке «Вход». Раз­вер­нуть­ся и полз­ти назад паук не может, по­это­му на каж­дом раз­ветв­ле­нии паук вы­би­ра­ет один из путей, по ко­то­ро­му ещё не полз. Счи­тая, что выбор даль­ней­ше­го пути чисто слу­чай­ный, опре­де­ли­те, с какой ве­ро­ят­но­стью паук придёт к вы­хо­ду D.

Ре­ши­те урав­не­ние Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те мень­ший из кор­ней.

Най­ди­те если

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции и от­ме­че­ны точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек зна­че­ние про­из­вод­ной наи­боль­шее? В от­ве­те ука­жи­те эту точку.

После дождя уро­вень воды в ко­лод­це может по­вы­сить­ся. Маль­чик из­ме­ря­ет время t па­де­ния не­боль­ших ка­меш­ков в ко­ло­дец и рас­счи­ты­ва­ет рас­сто­я­ние до воды по фор­му­ле где h  — рас­сто­я­ние в мет­рах, t − время па­де­ния в се­кун­дах. До дождя время па­де­ния ка­меш­ков со­став­ля­ло 0,6 с. На сколь­ко дол­жен под­нять­ся уро­вень воды после дождя, чтобы из­ме­ря­е­мое время из­ме­ни­лось на 0,2 с? Ответ вы­ра­зи­те в мет­рах.

Сме­шав 30-про­цент­ный и 60-⁠про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 10 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 36-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли 10 кг 50-⁠про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 41-⁠про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 30-⁠про­цент­но­го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те зна­че­ние x, при ко­то­ром

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции   на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

На рёбрах CD и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром 12 от­ме­че­ны точки Р и Q со­от­вет­ствен­но, причём DP  =  4, а B₁Q  =  3. Плос­кость APQ пе­ре­се­ка­ет ребро CC₁ в точке М.

а)  До­ка­жи­те, что точка М яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра CC₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки С до плос­ко­сти APQ.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Пен­си­он­ный фонд вла­де­ет цен­ны­ми бу­ма­га­ми, ко­то­рые стоят 10t тыс. руб­лей в конце года t (t  =  1, 2, ...). В конце лю­бо­го года пен­си­он­ный фонд может про­дать цен­ные бу­ма­ги и по­ло­жить день­ги на счёт в банке, при этом в конце каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года сумма на счёте будет уве­ли­чи­вать­ся на 24%. В конце ка­ко­го года пен­си­он­но­му фонду сле­ду­ет про­дать цен­ные бу­ма­ги, чтобы в конце два­дца­то­го года сумма на его счёте была наи­боль­шей?

Точки B₁ и C₁ лежат на сто­ро­нах со­от­вет­ствен­но AC и AB тре­уголь­ни­ка ABC, причём AB₁ : B₁C  =  AC₁ : C₁B. Пря­мые BB₁ и CC₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AO делит по­по­лам сто­ро­ну BC.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка AB₁OC₁ к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC, если из­вест­но, что AB₁ : B₁C  =  AC₁ : C₁B  =  1 : 4.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний имеет ровно два ре­ше­ния.

Дима и Ни­ки­та за­ду­ма­ли по цифре и со­об­щи­ли их Маше. Маша нашла сумму этих цифр, их раз­ность, а затем пе­ре­мно­жи­ла все 4 числа. Мог ли по­лу­чен­ный ре­зуль­тат быть равен:

а)  1989?

б)  2012?

в)  2016?

Если нет  — объ­яс­ни­те по­че­му, если да  — опре­де­ли­те цифры, за­ду­ман­ные Димой и Ни­ки­той.